高中数学高考卷03-2020年高考数学（文）名校地市好题必刷全真模拟卷（解析版）

这是一份高中数学高考卷03-2020年高考数学（文）名校地市好题必刷全真模拟卷（解析版），共16页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
 2020年高考数学（文）名校地市好题必刷全真模拟卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁RB）=（　　）
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
【答案】B
【解析】∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，
∴∁RB={x|x＜1}，
∴A∩（∁RB）={x|0＜x＜1}．
故选：B．
2．设复数z满足z+i1-i=1+i，则z=（　　）
A．2﹣i B．2+i
C．3 i D．2+i
【答案】A
【解析】∵足z+i1-i=1+i，
∴z+i=（1+i）（1﹣i）=2，
∴z=2﹣i．
故选：A．
3．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为n=NMODm，例如2=11MOD3．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（　　）

A．39 B．38
C．37 D．36
【答案】B
【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：
①被3除余2，
②被5除余3，
由已知中四个答案中的数据可得，
故输出的n为38，
故选：B．
4.设x，y满足约束条件&2x-y≥0&x+13y≤1&y≥0，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）
A．2或﹣3 B．3或﹣2
C．﹣13或12 D．﹣13或2
【答案】A
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=﹣3，
综上a=﹣3或a=2，
故选：A．


5.已知等差数列{an}中，a4=9，S4=24，则a7=（　　）
A．3 B．7
C．13 D．15
【答案】D
【解析】∵等差数列{an}中，a4=9，S4=24，
∴&a4=a1+3d=9&S4=4a1+4×32d=24，
解得a1=3，d=2，
∴a7=3+6×2=15．
故选：D．
6.下列说法错误的是（　　）
A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则綈p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
【答案】D
【解析】命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故A正确；
由x＞1，可得|x|＞1＞0，反之，由|x|＞0，不一定有x＞1，如x=﹣1，
∴“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件，故B正确；
命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故C正确；
若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故D错误．
故选：D．
7.方程2x=2﹣x的根所在区间是（　　）
A．（﹣1，0） B．（2，3）
C．（1，2） D．（0，1）
【答案】D
【解析】令f（x）=2x+x﹣2，则f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=2+1﹣2=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，
∴函数f（x）在区间（0，1）上必有零点，①
又∵2x＞0，ln2＞0，∴f′（x）=2xln2+1＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，至多有一个零点．②
综上①②可知：函数f（x）=2x+x﹣2在R有且只有一个零点x0，且x0∈（0，1）．
即方程2x=2﹣x的根所在区间是（0，1）．
故选：D．
8.已知向量AB→与AC→的夹角为120°，|AB→|=5，|AC→|=2，若AP→=λAB→+AC→，且AP→⋅BC→=﹣6，则实数λ的值为（　　）
A．﹣12 B．12
C．-110 D．110
【答案】B
【解析】＜AB→，AC→＞=120°，|AB→|=5，|AC→|=2，AP→=λAB→+AC→；
∴AP→⋅BC→=(λAB→+AC→)⋅(AC→-AB→)=-λAB→2+(λ-1)|AB→||AC→|cos120°+AC→2
=﹣25λ﹣5（λ﹣1）+4=﹣6；
解得λ=12．
故选：B．
9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（　　）

A．16 B．13
C．12 D．23
【答案】D
【解析】由题意，建立如图所示的坐标系，则D（2，1），
设抛物线方程为y2=2px，代入D，可得p=14，∴y=12x，
∴S=20212xdx=12⋅23x32|02=83，
∴向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是834=23，
故选：D．

10.函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（　　）
A．（3，﹣3） B．（﹣4，11）
C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在
【答案】B
【解析】对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，
又∵在x=1时f（x）有极值10，
∴&f'(1)=3-2a-b=0&f(1)=1-a-b+a2=10，
解得 &a=-4&b=11或 &a=3&b=-3，
验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，
故选：B．
11.已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过双曲线上一点P（c，y0）作y轴的垂线，垂足为M，若PF1⊥MF2，则该双曲线的离心率为（　　）
A．2 B．2+3
C．2+62 D．2+32
【答案】C
【解析】不妨设P在第一象限，则P（c，b2a），故M（0，b2a），
∴kPF1=b2a2c=b22ac，kMF2=b2a-c=﹣b2ac，
∵PF1⊥MF2，
∴b22ac•（﹣b2ac）=﹣1，即b2=2ac，
∴b2a2=2e，即e2﹣2e﹣1=0，解得e=2+62或e=2-62（舍）．
故选：C．
12.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，当时，，当时，，
又当时，，所以根据周期为1可得时的图象，故的图象如图所示：

函数的图象恒过，
因为与的图象有两个不同的交点，所以，
又，，故，，所以，
故选A.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|=1，|a→-b→|=7，则|a→+b→|=　　．
【答案】13
【解析】向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|=1，|a→-b→|=7，
可得|a→-b→|2=a→2﹣2a→•b→+b→2=9﹣2a→•b→+1=7，
即有a→•b→=32，
|a→+b→|2=a→2+2a→•b→+b→2=9+3+1=13，
则|a→+b→|=13．
故答案为：13．
14.若直线x+3y﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于　　．
【答案】23．
【解析】∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，
∴圆心到直线x+3y﹣2=0的距离d=|-2|2=1，
∴弦长|AB|=24-1=23．
故答案为：23．
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为　　．
【答案】233
【解析】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB=4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sinBsinC≠0，
所以sinA=12，
则A=π6或5π6
由于b2+c2﹣a2=8，
则：cosA=b2+c2-a22bc，
①当A=π6时，32=82bc，
解得bc=833，
所以S△ABC=12bcsinA=233．
②当A=5π6时，-32=82bc，
解得bc=﹣833（不合题意），舍去．
故：S△ABC=233．
故答案为：233．
16.已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x﹣1，则满足不等式（x﹣l）f（x）＜0的实数x的取值范围是　 　．
【答案】（﹣2，0）∪（1，2）
【解析】∵f（x）是奇函数，
∴当x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=log2（﹣x）﹣1=﹣f（x），
即f（x）=1﹣log2（﹣x），x＜0，
当x＞0时，由f（x）=log2x﹣1=0，得log2x=1，得x=2，
作出函数f（x）的图象如图，则不等式（x﹣l）f（x）＜0等价为&x-1＞0&f(x)＜0或&x-1＜0&f(x)＞0，
即&x＞1&x＜-2或0＜x＜2或&x＜1&x＞2或-2＜x＜0，得1＜x＜2或﹣2＜x＜0，
即不等式的解集为（﹣2，0）∪（1，2），故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．


三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知等差数列的前n项和为，公差，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和为.
【解答】（1）由公差，且， 解得，
∴ ，∴ ．
（2）当时，, ①，
, ②，
②得：， ∴ ．
当时，，∴ 也符合上式，故 ．
, ③
, ④
③－④得：
－ ．
∴ ．
18．（12分）
如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥PE；
（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．

【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）连接PD，
∵DE∥BC，又∠ABC=90°，
∴DE⊥AB，
又PA=PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB，
又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，
∴AB⊥PE．
（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC，
∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=3，
∵E是AC的中点，
∴VP-BEC=12VP-ABC=12×13×12×2×3×3=32．

19．（12分）
某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布表．根据相关信息回答下列问题：
（1）求a，b的值，并画出频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数在[60，80）内学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在[70，80）内的概率．

【解答】解：（1）a=6，b=0.25
（2）45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
（3）由题意知[60，70）中抽2人，[70，80）中抽取4人，则任取两人共有C62=15种取法
至多有一人在[70，80）总有9种情况P(A)=915=35
答：分数在[70，80）内的频率为0.3，本次考试的平均分为71，至多有1人的分数在[70，80）内的概率为35．

20．（12分）
已知函数f（x）=xex．
（1）讨论函数g（x）=af（x）+ex的单调性；
（2）若直线y=x+2与曲线y=f（x）的交点的横坐标为t，且t∈[m，m+1]，求整数m所有可能的值．
【解答】解：（1）由题意，函数f（x）=xex．则g（x）=af（x）+ex=axex+ex，
∴g′（x）=（ax+a+1）ex．
①若a=0时，g′（x）=ex，g′（x）＞0在R上恒成立，所以函数g（x）在R上单调递增；
②若a＞0时，当x＞-a+1a时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x＜-a+1a时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
③若a＜0时，当x＞-a+1a时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x＜-a+1a时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
综上，若a=0时，g（x）在R上单调递增；
若a＞0时，函数g（x）在(-∞，-a+1a)内单调递减，在区间(-a+1a，+∞)内单调递增；
当a＜0时，函数g（x）在区间(-∞，-a+1a)内单调递增，在区间(-a+1a，+∞)内单调递减．
（2）由题可知，原命题等价于方程xex=x+2在x∈[m，m+1]上有解，
由于ex＞0，所以x=0不是方程的解，
所以原方程等价于ex-2x-1=0，
令r(x)=ex-2x-1，
因为r'(x)=ex+2x2＞0对于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以r（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）内单调递增．
又r（1）=e﹣3＜0，r（2）=e2﹣2＞0，r(-3)=1e3-13＜0，r(-2)=1e2＞0，
所以直线y=x+2与曲线y=f（x）的交点仅有两个，
且两交点的横坐标分别在区间[1，2]和[﹣3，﹣2]内，
所以整数m的所有值为﹣3，1．
21．（12分）
已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，则ca=32，得c=32a，b=12a，
所以3x24c2+3y2c2=1，
由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，
所以a=2，b=1，
椭圆Γ的标准方程为x24+y2=1．
（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，
当直线l的斜率不存在时，
令x=±1，得y=±32，S△AOB=12×1×3=32，
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
由&y=kx+m&x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
则x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2，
所以x0=-4km1+4k2，y0=kx0+m=-4k2m1+4k2+m=m1+4k2，
将(-4km1+4k2，m1+4k2)代入x2+y2=1，得m2=(1+4k2)216k2+1，
又因为|AB|=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1x2=1+k2⋅41+4k21+4k2-m2，
原点到直线l的距离d=|m|1+k2，
所以S△AOB=12×|m|1+k2×1+k2⋅41+4k21+4k2-m2
=2|m|1+4k21+4k2-m2=21+4k2×1+4k216k2+1×1+4k2×1-1+4k216k2+1
=212k2(1+4k2)(16k2+1)2=216k2+1×12k2(1+4k2)≤216k2+1×1+16k22=1．
当且仅当12k2=1+4k2，即k=±24时取等号．
综上所述，△AOB面积的最大值为1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（233，π2）．圆C的参数方程为&x=2+2cosθ&y=-3+2sinθ，（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（233，π2），
所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，233），P为线段MN的中点（1，33），
直线OP的平面直角坐标方程y=33x；
（Ⅱ）圆C的参数方程&x=2+2cosθ&y=-3+2sinθ（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=4，
圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，
直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，233），方程为x+3y﹣2=0，
圆心到直线的距离为：|2-33-2|12+(3)2=332＞2，
所以，直线l与圆C相离．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．
（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2|；
则不等式为|2x﹣1|+|x﹣2|≥6；
①当x≥2时，原不等式为2x﹣1+x﹣2≥6，解得：x≥3；
②当12≤x＜2时，原不等式为2x﹣1+2﹣x≥6，解得：x≥5．此时不等式无解；
③当x＜12时，原不等式为1﹣2x+2﹣x≥6，解得：x≤﹣1；
∴原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；
（2）不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|即为|2x+a|+|x﹣2|≥3a2﹣|2﹣x|；
即关于x的不等式|2x+a|+2|x﹣2|≥3a2恒成立；
而|2x+a|+2|x﹣2|=|2x+a|+|2x﹣4|≥|（2x+a）﹣（2x﹣4）|=|a+4|；
∴|a+4|≥3a2；
∴a+4≥3a2或a+4≤﹣3a2；
解得-1≤a≤43或a∈∅；
所以a的取值范围是[-1，43]．