高中数学高考卷04-2020年高考数学（文）名校地市好题必刷全真模拟卷（解析版）

这是一份高中数学高考卷04-2020年高考数学（文）名校地市好题必刷全真模拟卷（解析版），共16页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
 2020年高考数学（文）名校地市好题必刷全真模拟卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若i是虚数单位，复数z的共轭复数是z，且2i﹣z=4﹣i，则复数z的模等于（　　）
A．5 B．25
C．5 D．17
【答案】A
【解析】∵2i﹣z=4﹣i，
∴z=﹣4+3i，
∴z=﹣4﹣3i，
∴|z|=(-4)2+(-3)2=5，
故选：A．
2．设A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　）
A．[1，3] B．[3，+∞）
C．[1，+∞） D．（1，3）
【答案】C
【解析】∵A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，且B⊆A；
当B=∅时，2a＞a+3，解得a＞3；
当B≠∅时，&a+3≤6&2a≥2&2a≤a+3，
解得1≤a≤3；
∴a的取值范围是{a|1≤a≤3，或x＞3}={a|a≥1}；
故选：C．
3．执行如图所示的程序框图，则输出d的最大值为（　　）

A．2-1 B．2
C．2 D．2+1
【答案】D
【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是求半圆y=1-x2上的点到直线x﹣y﹣2=0的距离的最大值，
如图：

可得：d的最大值为OP+r=2+1．
故选：D．
4.已知变量x，y满足&x-y+3≤0&x+y-5≥0&x≤2，则目标函数z=12x-y的最值是（　　）
A．zmin=﹣4，zmax=﹣2 B．zmax=﹣2，zmin=﹣3
C．zmax=﹣72，z无最小值 D．z既无最大值，也无最小值
【答案】C
【解析】不等式组对应的平面区域如图：
由z=12x﹣y得y=12x﹣z，
平移直线y=12x﹣z，则由图象可知当直线y=12x﹣z经过点A时，直线y=12x﹣z的截距最小，
此时z最大，由&x-y+3=0&x+y-5=0，解得&x=1&y=4，即A（1，4），
此时zmax=12×1﹣4=﹣72，z无最小值，
故选：C．


5.设 x∈R，则“|x+1|≤2”是“﹣2≤x≤3”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】“|x+1|≤2”，解得﹣2≤x+1≤2，化为：﹣3≤x≤1．
∴“|x+1|≤2”是“﹣2≤x≤3”的既不充分也不必要条件．
故选：D．

6.．函数y=2xsin(π2+6x)4x-1的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数f（x）=2xsin(π2+6x)4x-1=2xcos6x4x-1，
∴f（﹣x）=2-xcos(-6x)4-x-1=﹣2xcos6x4x-1=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，
∵当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于0，
故排除BC，
故选：D．
7.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为SnTn=2n3n+1，则a9b9=（　　）
A．3249 B．3655
C．1726 D．914
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可得：a9b9=17(a1+a17)217(b1+b17)2=S17T17=2×173×17+1=1726．
故选：C．
8.已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3=0，点 M（﹣2，0）是⊙C 外一点，则过点 M 的圆的切线方程是（　　）
A．x+2=0，7x﹣24y+14=0 B．y+2=0，7x+24y+14=0
C．x+2=0，7x+24y+14=0 D．y+2=0，7x﹣24y+14=0
【答案】C
【解析】⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3=0，
即（x﹣2）2+（y﹣3）2=16，
故圆心是（2，3），半径是4，
点 M（﹣2，0）是⊙C 外一点，
显然x+2=0是过点 M 的圆的一条切线，
设另一条切线和圆相切于P（a，b），
则MP的斜率是ba+2，
直线直线MP的方程是：bx﹣（a+2）y+2b=0，
故&3-b2-a⋅ba+2=-1&2b-3(a+2)+2bb2+(a+2)2=4，
解得：&a=-26&b=7，
故切线方程是7x+24y+14=0，
故选：C．
9.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若2cos2A+B2-cos2C=1，4sinB=3sinA，a-b=1，则c的值为（　　）
A．13 B．7
C．37 D．6
【答案】A
【解析】根据题意，△ABC中，2cos2A+B2﹣cos2C=1，变形可得2cos2A+B2﹣1=cos2C，
则有cos2C+cosC=0，即2cos2C+cosC﹣1=0，
解可得cosC=12或cosC=﹣1（舍），
又由4sinB=3sinA，则有4b=3a，
又由a﹣b=1，
则a=4，b=3，
则c2=a2+b2﹣2abcosC=16+9﹣12=13，
则c=13，
故选：A．
10.设f′（x）为定义在R*上的函数f（x）的导函数，且f'(x)-f(x)x＞0恒成立，则（　　）
A．3f（4）＞4f（3） B．3f（4）＜4f（3）
C．3f（3）＞4f（4） D．3f（3）＜4f（4）
【答案】A
【解析】f'(x)-f(x)x＞0，即xf'(x)-f(x)x＞0
设g（x）=f(x)x，则g′（x）=xf'(x)-f(x)x2，
当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，
即g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（4）＞g（3）
∴f(4)4＞f(3)3
∴3f（4）＞4f（3），
故选：A．
11.．已知实数a，b满足0≤a≤1，0≤b≤1，则函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（　　）
A．19 B．13
C．25 D．89
【答案】A
【解析】对f（x）=x3﹣ax2+bx+1求导数可得f′（x）=3x2﹣2ax+b，
由函数有极值可得△=4a2﹣12b＞0，即b＜13a2，
∴满足0≤a≤1，0≤b≤1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，
∴满足0≤a≤1，0≤b≤1且b＜13a2的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a2下方的部分，
由定积分可得S=0113a2da=19a3|01=19，而正方形的面积为1，
∴所求概率为P=19，
故选：A．
12.已知抛物线y2=4x，过焦点F的弦AB（点A在一象限），P（0，6），O为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为（　　）
A．74 B．94
C．3 D．4
【答案】B
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1，y1＞0，易知F（1，0），
设直线AB：x=my+1
由&x=my+1&y2=4x⇒y2-4my-4=0，
所以y1y2=-4⇒y2=-4y1，
∴SOPAB=S△OPA+S△OFA+S△OFB=3y124+12y1+2y1(y1＞0)，
设f（x）=34x2+12x+2x，x＞0，
∴f′（x）=32x+12﹣2x2=(x-1)(3x2+4x+4)2x2，
易知f（x）在（0，1）减，（1，+∞）增，
所以当y1=1时，(SOPAB)min=94，
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知平面向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，|a→﹣b→|=3，则a→在b→方向上的投影是　　．
【答案】12
【解析】∵|a→|=1，|b→|=2，|a→﹣b→|=3，
∴|a→|2+|b→|2﹣2a→•b→=3，
解得a→•b→=1，
∴a→在b→方向上的投影是a→⋅b→|b→|=12，
故答案为：12
14.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
根据上表可得回归方程y∧=b∧x+a∧，其中b∧=7，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为　　万元；
【答案】85
【解析】由题意可得：x=2+4+5+6+85=5，y=30+40+50+60+705=50，
线性回归方程过样本中心点，则：50=7×5+a^，∴â=15，
线性回归方程为：ŷ=7x+15，
据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为ŷ=7×10+15=85 万元．
故答案为：85．
15.若函数f（x）=x3+x，若f（a﹣2）+f（a2）≥0，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
【解析】f（x）为奇函数，且在R上单调递增；
∴由f（a﹣2）+f（a2）≥0得：f（a2）≥f（2﹣a）；
∴a2≥2﹣a；
解得a≤﹣2，或a≥1；
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．
16.在椭圆x216+y24=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为　 　．
【答案】x﹣2y+4=0．
【解析】设以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x216+y24=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），
∵点P（﹣2，1）是线段AB的中点，
∴&x1+x2=-4&y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，
得&x12+4y12=16①&x22+4y22=16②，
①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
k=y1-y2x1-x2=12，
∴以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为y-1=12(x+2)，
整理，得x﹣2y+4=0．
故答案为：x﹣2y+4=0．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m→=（sinC﹣sinA，sinC﹣sinB）与n→=（b+c，a）共线．
（I）求角B的大小；
（II）若b=23，c=6+2，求△ABC的面积．
【解析】（Ⅰ）△ABC中，向量m→=（sinC﹣sinA，sinC﹣sinB）与n→=（b+c，a）共线，
∴a（sinC﹣sinA）﹣（b+c）（sinC﹣sinB）=0，
由正弦定理得a（c﹣a）﹣（b+c）（c﹣b）=0，
整理得a2+c2﹣b2=ac，
由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，
∴B=π3；
（II）由正弦定理bsinB=csinC，
得sinC=csinBb=(6+2)⋅3223=6+24，
∴cosC=±1-sin2C=±6-24；
当cosC=6-24时，
sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinB
=32•6-24+12•6+24=22；
∴△ABC的面积为：
S△ABC=12bcsinA=12×23×（6+2）×22=3+3；
当cosC=﹣6-24时，
sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=32×2-64+12×6+24=6-24，
∴△ABC的面积为：
S△ABC=12bcsinA=12×23×（6+2）×6-24=3；
综上，△ABC的面积为3+3或3．
18．（12分）
如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD，O为AD边的中点．
（1）证明：平面POB⊥平面PAD；
（2）若AB=23，PA=7，PB=13，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

【解答】（1）证明：连接BD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以△ABD是正三角形，
所以AD⊥BO，因为O为AD的中点，PA=PD，
所以AD⊥PO，且PO∩BO=O，
所以AD⊥平面POB，
又AD⊂平面PAD，所以平面POB⊥平面PAD；
（2）解：因为AB=23，△ABD是正三角形，所以OB=3，
在Rt△PAO中，PA=7，AO=3，所以PO=2，
又PB=13，所以OB2+PO2=PB2，所以∠POB=90°，即PO⊥OB，
又AD⊥PO，且OB∩AD=O，所以PO⊥平面ABCD，
因为S平行四边形ABCD=2×12×(23)2×sin600=63，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=13×63×2=43．

19．（12分）
共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
8
0.16
第2组
[60，70）
a

第3组
[70，80）
20
0.40
第4组
[80，90）

0.08
第5组
[90，100]
2
b

合计


（1）求出a，b，x，y的值；
（2）若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求2人中至少一人来自第5组的概率．

【解答】解：（1）由题意可知，b=250=0.04；
∴[80，90）内的频数为2×0.080.04=4，
∵样本容量n=50，∴a=50﹣8﹣20﹣4﹣2=16，
又[60，70）内的频率为1650=0.32，∴x=0.3210=0.032，
∵[90，100]内的频率为0.04，∴y=0.0410=0.004．……（4分）
（2）由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，
设第4组的4人分别为a1，a2，a3，a4，第5组的2人分别为b1，b2，
则从中任取2人，所有基本事件为：
（a1，a2）、（a1，a3）、（a1，a4）、（a1，b1）、（a1，b2）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a2，b1）、
（a2，b2）、（a3，a4）、（a3，b1）、（a3，b2）、（a4，b1）、（a4，b2）、（b1，b2），共15个．……（7分）
又至少一人来自第5组的基本事件有：
（a1，b1）、（a1，b2）、（a4，b1）、（a4，b2）、（b1，b2）、（a2，b2）、（a3，b1）、（a3，b2）、（a2，b1）共9个，…．（9分）
∴P=915=35．
故所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为 35．
20．（12分）
已知a∈R，函数f（x）=x（ex﹣2a）﹣ax2．
（Ⅰ）若f（x）有极小值且极小值为0，求a的值．
（Ⅱ）当x∈R时，f（2x）≥2f（x），求a的取值范围
【解答】解：（I）f′（x）=（ex﹣2a）+xex﹣2ax=（x+1）（ex﹣2a），x∈R．
①若a≤0，由f′（x）=0解得x=﹣1．
∴当x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，
∴当x=﹣1时，f（x）取得极小值f（﹣1）=a﹣1e=0，解得a=1e（舍去）；
②若a＞0，由f′（x）=0解得x=﹣1或x=ln（2a），
（i）若ln（2a）＜﹣1，即0＜a＜12e，
∴当x＜ln（2a）时，f′（x）＞0，当ln（2a）＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，
∴当x=﹣1时，f（x）取得极小值f（﹣1）=a﹣1e=0，解得a=1e（舍去）；
（ii）若ln（2a）=﹣1，即a=12e时，f′（x）≥0，此时f（x）没有极小值；
（iii）若ln（2a）＞﹣1，即a＞12e，
∴当x≤﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜ln（2a）时，f′（x）＜0，当x＞ln（2a）时，f′（x）＞0，
∴当x=ln（2a）时，f（x）取得极小值f（ln（2a））=﹣aln2（2a）=0，解得a=12．
综上，a=12．
（II）f（2x）﹣2f（x）=2x（e2x﹣2a）﹣4ax2﹣2x（ex﹣2a）+2ax2=2x（e2x﹣ex）﹣2ax2≥0，
显然当x=0时，上式恒成立，当x≠0时，a≤e2x-exx．
令g（x）=e2x-exx=ex(ex-1)x（x≠0），则当x＜0时，ex﹣1＜0，当x＞0时，ex﹣1＞0，
∴g（x）＞0，且当x→﹣∞时，g（x）→0，
∴a≤0，即a的取值范围是（﹣∞，0]．
21．（12分）
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，点M（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．
【解答】解：（1）∵椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，点M（2，1）在椭圆C上．
∴&e=ca=32&4a2+1b2=1&a2=b2+c2，解得a=22，b=2，c=6，
∴椭圆C的方程为x28+y22=1．
（2）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k=kOM=12，
又l在y轴上的截距为m，∴l的方程为y=12x+m．
由&y=12x+m&x28+y22=1，得x2+2mx+2m2﹣4=0．
又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，于是﹣2＜m＜2．
∠AOB为钝角等价于OA→⋅OB→＜0，且m≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(12x1+m)(12x2+m)=54x1x2+m2(x1+x2)+m2＜0，
由韦达定理x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，代入上式，
化简整理得m2＜2，即2＜m＜2，故所求范围是（﹣2，0）∪（0，2）．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l：&x=12t&y=1+32t（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ
∴x2+y2=2x+2y
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
得t2﹣t﹣1=0，
所以|AB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=1+4=523．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设不等式||x+1|﹣|x﹣1||＜2的解集为A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若∀m∈A，不等式mx2﹣2x+1﹣m＜0恒成立，求实数x的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，令f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=&2，(x≥1)&2x(-1＜x＜1)&-2(x≤-1)，
由|f（x）|＜2，得A={x|﹣1＜x＜1}．
（Ⅱ）将不等式mx2﹣2x+1﹣m＜0整理成（x2﹣1）m﹣2x+1＜0，
令g（m）=（x2﹣1）m﹣2x+1，要使g（m）＜0，
则&g(-1)=(x2-1)⋅(-1)-2x+1≤0&g(1)=(x2-1)⋅1-2x+1≤0，
∴&x2+2x-2≥0&x2-2x≤0，
∴&x≤-1-3或x≥3-1&0≤x≤2，
∴3﹣1≤x≤2．