高中数学高考卷9-2021年新高考数学实战演练仿真模拟卷（新高考地区专用）（解析版）

这是一份高中数学高考卷9-2021年新高考数学实战演练仿真模拟卷（新高考地区专用）（解析版），共21页。
卷9-2021年新高考数学实战演练仿真模拟卷一．选择题（共8小题）1．已知集合，，集合满足，1，，则集合的个数为　　A．3 B．4 C．6 D．7【解析】解：，，，1，，一定含元素0，可能含元素1，2，集合的个数为：．故选：．2．已知为正实数，复数为虚数单位）的模为2，则的值为　　A． B．1 C．2 D．3【解析】解：为正实数，复数为虚数单位）的模为2，则，解得，故选：．3．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为　　A．161 B．155 C．141 D．139【解析】解：由题意可知：1，7，15，27，45，71，107，的差的数列为：6，8，12，18，26，36，这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，10，是等差数列，所以前7项分别为1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为：．故选：．4．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），抛物线的准线与轴交于点，当最大时，直线的斜率　　A．1 B． C． D．【解析】解：根据题意，不妨设点 在第一象限，过点 作准线的垂线，垂足为．由题意可得，．因为，所以，，若最大，则最小，即最小，由题知当 与抛物线 相切时，最小．设直线的方程为，则．与抛物线方程联立，得，消去得，由△，得，故选：．5．已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列，则取得最大值时的值为　　A．4 B．5 C．4或5 D．5或6【解析】解：设等差数列的公差为，，由，且，，成等比数列，可得，即，解得舍去），则，可得等差数列为递减数列，由时，，时，，时，，所以或5时，取得最大值，故选：．6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，双曲线的右焦点为，则以为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为　　A． B．C． D．【解析】解：双曲线的，，，则，双曲线的渐近线方程为，由题意可得到渐近线的距离为，即有圆的半径为，圆心为，则所求圆的方程为，化为，故选：．7．已知函数，，若对任意的，，存在唯一的，，使得，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：在，的值域为，，但在，递减，此时，．的导数为，可得在，递减，，递增，则在，的最小值为，最大值为（1），即值域为，．对任意的，，存在唯一的，，使得，可得，，，可得，解得．故选：．8．设为等腰三角形，，，为边上的高，将沿翻折成，若四面体的外接球半径为，则线段的长度为　　A． B． C． D．【解析】解：如图，设等腰三角形的外心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，由已知求得，又四面体的外接球半径为，，即等腰三角形的外接圆的半径为1，又由已知可得，由正弦定理可得，，得，可得，则．故选：．二．多选题（共4小题）9．如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，，点是圆周上不同于，的点，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的有　　A．平面 B．平面平面 C．二面角的大小为 D．三棱锥的体积为【解析】解：对于，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，故正确；对于，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，，，，平面，平面，平面平面，故正确；对于，平面，是二面角的平面角，，点是圆周上不同于，的点，，，，，二面角的大小为，故正确；对于，三棱锥的体积为：，故错误．故选：．10．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是　　A．椭圆的焦点坐标为、 B．椭圆的长轴长为 C．直线的方程为 D．【解析】解：由椭圆方程可得，，则，椭圆的焦点坐标为、，故错误；椭圆的长轴长为，故错误；设，，，，则，，两式作差可得：，得到，又为线段的中点，，即的斜率为，则直线的方程为，即，故正确；联立，可得．则，，，故正确．故选：．11．已知函数的最小正周期是，则下列判断正确的有　　A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间，上是减函数 C．函数的图象关于点，对称 D．函数取得最大值时的取值集合为【解析】解：的周期，，，对，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，不正确；对，由可得，，故在区间，上单调递减，正确；对，因为，得到函数图象的一个对称中心为，正确．对，因为，正确．故选：．12．已知函数，则下列命题正确的有　　A．当时，的解集为 B．当时，，，时， C．且时， D．当时，若，则【解析】解：对于：由，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，故错误；对于时，在，递增，则，故正确；对于在，递减，当，，时，设，，，，则的中点，，设，，数形结合得：点位于点的下方，即，故正确；对于：设，则表示在轴右侧图象上的点与原点所在的直线的斜率，数形结合可知：是增函数，当时，，则，即，故错误；故选：．三．填空题（共4小题）13．经过原点做函数的切线，则切线方程为　或　．【解析】解：．设切线的斜率为．（1）当切点是原点时，所以所求曲线的切线方程为．（2）当切点不是原点时，设切点是，，则有，，①又，②由①②得，，切线的斜率为：，故曲线的切线方程是；即．故答案为：或．14．等腰直角中，，点是的中点，为中点，则　　．【解析】解：等腰直角中，，，点是的中点，为中点，可得，，所以．故答案为：．15．已知正三棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积，则该三棱锥的侧面积的最大值为　　．【解析】解：正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，球半径为；设正三棱柱中的外接圆的半径为，则的边长；设正三棱柱的高为，则，解得，三棱柱的侧面积为：，由，当且仅当，即时取“”，的外接圆半径时，三棱柱的侧面积取得最大值为：．故答案为：．16．已知数列满足，定义使为整数的叫做“幸福数”，则区间，内所有“幸福数”的和为　1349　．【解析】解：由于数列满足，当时，，当时，．又时，，成立．所以，，设，所以，，由于，，所以，共5个数，所以．故答案为：1349．四．解答题（共6小题）17．已知，，分别为内角，，的对边，．（1）若为锐角三角形，求角；（2）若，，求面积．【解析】解：（1）因为，所以由正弦定理可得，因为为三角形内角，，所以，因为为锐角，所以．（2）因为，，由（1）可得，若，则由余弦定理，可得，可得，解得，或（舍去），所以面积．若，则由余弦定理，可得，可得，解得，或（舍去），所以面积．18．已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：对于任意的，．【解析】解：（Ⅰ）数列是公差为的等差数列，且，可得，，，又，；证明：（Ⅱ），，当时，，又，，又，．19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，为等腰三角形，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，且，求的长度，并求此时与平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：由题知，，，得平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，，由，得，又，即为二面角的平面角，中，，，，可得或，又，，．过点作，垂足为点，可得，由平面平面，得平面，设点到平面的距离为．由，得，而，，设与平面所成角为，则．与平面所成角正弦值为．（其他解法请酌情给分）20．为了了解某年龄段人群的午休睡眠质量，随机抽取了1000名该年龄段的人作为被调查者，统计了他们的午休睡眠时间，得到这1000名被调查者的午休平均睡眠时间；（1）认为被调查者的午休睡眠时间服从正态分布，其中，分别取被调查者的平均午休睡眠时间和方差，那么这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟（含的人数估计有多少？（2）如果用这1000名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况，现从全市所有该年龄段人中随机抽取2人（午休睡眠时间不高于43.91分钟）和3人（午休睡眠时间不低于73.09分钟）进行访谈后，再从抽取的这5人中推荐3人作为代表进行总结性发言，设推荐出的代表者午休睡眠时间均不高于43.91分钟的人数为，求的分布列和数学期望．附：①，．②，则；；．【解析】解：（1）服从正态分布，，，，，，故这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟（含的人数估计有159人．（2）由已知可得随机变量的取值为0，1，2，，，，故其分布列为：012则．21．如图，已知点在抛物线上，过点作三条直线，，，与抛物线分别交于点，，，与轴分别交于点，，，且．（Ⅰ）（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设直线，斜率分别为，，若，求直线的方程；（Ⅱ）设，四边形面积分别为，，在（Ⅰ）的条件下，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题知，抛物线上有一点，，抛物线的方程为；设，，，其中，则，，，，，直线方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，，，则方程为，即，由，得，，即，方程为，即，同理可得，点到直线的距离为，点到直线的距离为，记，设过点的抛物线的切线为，由，得，由△，得，所以切线方程为，令，得，，，．22．设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域上存在不动点．已知函数．（1）若，求的不动点；（2）若函数在区间，上存在不动点，求实数的取值范围；（3）设函数，若，，，都有成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）若，由可得，，令，则，解或，所以或，故的不动点为0或1，（2）由可得，在，上有解，令，则由，可得，，则在，上有解，故，当，时，在，单调递减，在，上单调递增，则，，则，解得．故的范围，，（3），则，又在，上单调递减，则，，则，令，，，则，，则，又，在上单调递增，则，则，即．