高中数学高考考点02 充要条件与量词(原卷版)
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考点02 充要条件与量词【命题解读】充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查,主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富,因此题目有一定综合性,属于中、低档题.命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定.关于存在性命题与全称命题,一般考查命题的否定【基础知识回顾】 1、 充分条件与必要条件(1)充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p (2)从集合的角度:若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.提示 若AB,则p是q的充分不必要条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若AB,则p是q的必要不充分条件;若A=B,则p是q的充要条件;若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.2、全称量词与全称命题(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词.(2)全称命题:含有全称量词的命题.(3)全称命题的符号表示:形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,用符号简记为∀x∈M,p(x).3、存在量词与特称命题(1)存在量词:短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.(2)特称命题:含有存在量词的命题.(3)特称命题的符号表示:形如“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”的命题,用符号简记为∃x0∈M,p(x0).1、命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是( )A.∃x0∈R,x+x0≤0 B.∃x0∈R,x+x0<0C.∀x∈R,x2+x≤0 D.∀x∈R,x2+x<02、“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、 命题“∃x∈[0,1],x2-1≥0”是________命题(选填“真”或“假”).4、(江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研)已知,则“”是“直线平行”的____条件. (从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个).5、(一题两空)已知p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为________;若p是q的必要条件,则m的最小值为________. 考向一、充要条件、必要条件的判断例1、 已知直线l,m,平面α,m⊂α,则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”). 变式1、.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变式2、设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变式3、下列选项中,是的必要不充分条件的是 A.;:方程的曲线是椭圆 B.;:对,不等式恒成立 C.设是首项为正数的等比数列,:公比小于0;:对任意的正整数,D.已知空间向量,1,,,0,,;:向量与的夹角是 方法总结:充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题, 考向二 充要条件等条件的应用例2、设命题;命题.若p是q的充分不必要条件,求实数的取值范围. 变式1、已知不等式的解集为条件,关于的不等式()的解集为条件.(1)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围;(2)若的充分不必要条件是,求实数的取值范围. 变式2、已知p:,q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0}.(1)若m=1,则p是q的什么条件?(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 方法总结:充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.考向三 含有量词的命题例3、(1)写出下列命题的否定,并判断真假.(1),都有;(2),;(3)至少有一个二次函数没有零点;(4)存在一个角,使得.(2)下列四个命题:①∃x∈(0,+∞),;②∃x∈(0,1),;③∀x∈(0,+∞),x>;④∀x∈,x<.其中真命题的序号为________. 变式1、设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:A.存在一条定直线与所有的圆均相切; B.存在一条定直线与所有的圆均相交;C.存在一条定直线与所有的圆均不相交;D.所有的圆均不经过原点.其中为真命题的是( ). 1、判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判定存在性命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立.2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词),并把结论否定.考向四 全称(存在)量词命题的综合应用例4、已知函数,,若对,,使得,求实数的取值范围是. 变式1、若命题“∃x∈R,x2-mx-m<0”是假命题,则实数m的取值范围是________. 变式2、若命题“∃x0∈R,使得3x+2ax0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是____________. 变式3、 若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是________. 方法总结:应用含有量词的命题求参数的策略:(1)对于全称量词命题(或)为真的问题实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求的最大值(或最小值),即(或).(2)对于存在量词命题(或)为真的问题实质就是不等式能成立问题,通常转化为求的最小值(或最大值),即(或).1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面2、 (2018·北京卷)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、.(2018·浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4、(2020届山东省泰安市高三上期末)“”是“,”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5、(江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测)将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.则“”是“函数为偶函数”的________条件,(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个)6、(2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二))已知集合,集合,若y是的必要不充分条件,则实数的取值范围为_____.7、若f (x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),∀x1∈[-1,2],∃x0∈[-1,2],使g(x1)=f (x0),求则实数a的取值范围.
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