高中数学高考考点10 函数的单调性（原卷版）

考点10  函数的单调性

【命题解读】

考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；

【基础知识回顾】 

1. 函数单调性的定义

(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．

(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．

2. 函数单调性的图像特征

对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．

3. 复合函数的单调性

对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

4. 函数单调性的常用结论

(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数；

<0⇔f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．

(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”

5.常用结论

1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；

(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．

2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

1、函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是(　　)

A．递减函数　　　　　　　　 B．递增函数

C．先递减再递增函数  D．先递增再递减函数

2、函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)

A．2　　　　 B.　　　　

C.　　　　 D．－

3、已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A.   B. 

C.   D.

4、设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )

A. y＝在R上为减函数　　　　　　　 

B. y＝|f(x)|在R上为增函数

C. y＝－在R上为增函数　　　　　　 

D. y＝－f(x)在R上为减函数

5、对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是　　

A． B． 

C． D．

6、函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间是          ；单调递减区间是         ．

考向一函数单调性的证明与判断

例1、判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．

变式1、试讨论函数f(x)＝x＋(k>0)的单调性．

变式2、试讨论函数f(x)＝(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．

方法总结：　1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.

2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：

→→→→

其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．

考向二  函数的单调区间

例1、求下列函数的单调区间

（1）y＝－x2＋2|x|＋1；

（2）、.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.

变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)

A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)

C．(－∞，1]和  D.和[2，＋∞)

变式2、 函数f(x)＝的单调减区间为________________．

方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：

(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；

(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解

考向三 复合函数的单调区间

 例3、求下列函数的单调区间

(1)f(x)＝；

   （2）

变式1、函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为（    ）

   A．            B．            C．           D．．

变式2、函数f(x)＝2的单调递增区间为(　　)

A.   B.

C.   D.

方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。

考向四  函数单调性中的含参问题

例4、已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．

变式1、如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________.

变式2、设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a可能的值为(　　)

   A．－2          B．0          C．1           D．2

例5、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)＜f(3x－2)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]  B．(3，＋∞)

C．[1，3)  D．(0，1)

变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．

变式2、已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1，1)  B．(0，1)

C．(－1，0)∪(0，1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

方法总结：:1.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.

2.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

1、(2015北京)下列函数中，定义域是且为增函数的是

A．      B．         C．       D．

2、（2017北京）已知函数，则

A．是奇函数，且在R上是增函数         B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数         D．是偶函数，且在R上是减函数

3、（2019北京理13）设函数 (a为常数)，若为奇函数，则a=______； 若是上的增函数，则a的取值范围是 ________．

4、(2018北京)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

5、（2017山东）若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是

①    ②    ③    ④

6、(2012安徽)若函数的单调递增区间是，则=________．

7、已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．