高中数学高考考点12 等式与不等式（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）

这是一份高中数学高考考点12 等式与不等式（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版），共13页。试卷主要包含了等式与不等式的性质，均值不等式及其应用等内容，欢迎下载使用。
一、等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)0）⇔a0）.))
2.等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).
二、均值不等式及其应用
1.均值不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)(简记：和定积最大).
三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)0(0(0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.
6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
不等式的性质
1.（2021新疆乌鲁木齐市第四中学检测）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】利用特殊值法和不等式的性质来判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，，A选项错误；
对于B选项，取，，，，则，，不成立，B选项错误；
对于C选项，取，，，，则，，不成立，C选项错误；
对于D选项，当时，则，由于，所以，，D选项正确.
故选：D.
不等式的解法
2.（2021陕西省西安中学检测）不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将不等式的解代入不等式对应方程，得到的关系，判断为负数，将的关系代入后一个不等式，解得答案.
【详解】由题意知：是方程的两个解，代入方程得到
，，
不等式可化为：，
即解得.
故选B.
基本不等式以及应用
3.（2021辽宁省葫芦岛市模拟）已知向量，若则的最小值为（ ）
A．12 B． C．15 D．
【答案】D
【分析】因为，所以3a+2b=1，再利用基本不等式求最小值.
【详解】因为，所以3a+2b=1，
所以.
当且仅当时取到最小值.
故选：D
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4.（2021吉林省实验中学检测）若函数在处取最小值，则等于（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】A
【分析】将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.
【详解】当时，，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.
【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
1.（2020•新全国1山东）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
2.（2019（新课标Ⅱ））若a>b，则
A. ln(a−b)>0B. 3a0D. │a│>│b│
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
3.（2020•江苏卷）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
一、单选题
1.（2022·广东·模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A. 13B. 19C. 21D. 27
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27
故选：D
2.（2022·福建宁德·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. 8C. D. 10
【答案】D
【分析】对方程变形，再利用基本不等式进行求解.
【详解】整理为：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，从而的最小值是10
故选：D
3.（2022·重庆·一模）已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先利用消元，再利用基本不等式求得的最小值即可
【详解】将代入，可得：
（当且仅当时，取得等号）
故选：D
二、多选题
4.（2022·全国·模拟预测）已知实数x，y满足，，且，则（ ）
A. xy的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为1D. 的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式及其变形逐项分析A，B，D；由条件得，，从而由二次函数的图象与性质分析C.
【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，所以A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，所以B正确；
对于C，因为，，且，所以，，（根据x，y的关系得到x的取值范围）
则，所以C错误；
对于D，，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以D正确.
故选：ABD.
5.（2022·广东汕头·一模）已知正实数a，b满足，则以下不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【分析】对于A，对两边同除以进行判断，对于B，利用基本不等式分析判断，对于C，由可得，产生矛盾，对于D，由已知可得，所以，化简后利用基本不等式求解
【详解】对于A，因为正实数a，b满足，所以，即，所以A错误，
对于B，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，
对于C，若，则，所以，所以，而由选项B可知，所以不成立，所以C错误，
对于D，因为正实数a，b满足，所以，即，所以
，当且仅当，即时取等号，所以D正确，
故选：BD
6.（2022·江苏泰州·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.
对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.
对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.
对于D选项，，
当且仅当，即无解，故D不正确.
故选：BC.
三、填空题
7.（2022·全国·模拟预测（文））已知正数、满足，则的最小值是___________.
【答案】##
【分析】利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为、为正数，由基本不等式可得，所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
8.（2022·江西九江·一模（理））若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为______．
【答案】##0.5
【分析】根据两直线垂直的a、b关系，再用基本不等式可解.
【详解】由两直线垂直得，即，，
当且仅当，时，等号成立，故的最大值为．
故答案为：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
eq \f({x|x＞x2,或x＜x1})
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
不等式
解集
ab
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)