高中数学高考考点14 等差数列与等比数列（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(原卷版）

这是一份高中数学高考考点14 等差数列与等比数列（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(原卷版），共11页。试卷主要包含了等差数列的概念，等差数列的性质，等比数列的常用性质，等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式等内容，欢迎下载使用。
等差数列及其前n项和
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝eq \f(x＋y,2).
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
二、等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±eq \r(xy).
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
1.等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
2.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N＋)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.
6.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
等差数列及其前n项和
一、解答题
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知数列前项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
2．（2022·山西·二模（理））已知数列的前n项和为，若，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．
①；
②．
3．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知数列满足，前项的和，且.
(1)写出，并求出数列的通项公式；
(2)在①；②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若数列满足___________，求实数使得数列是等差数列.
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值．
等比数列及其前n项和
一、单选题
1．（2021·安徽池州·一模（理））已知数列为等比数列，其前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，3，则是等比数列D．若，，则
三、解答题
3．（2022·江西·二模（文））已知正项数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
4．（2022·河南·二模（理））已知数列的前项和为 ，，，，且满足：，其中且.
(1)求.
(2)求数列的前项和.
5．（2022·重庆·二模）设为数列的前项和，已知，.若数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
1. （2020年新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块
2. （2019年新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A. 16B. 8C. 4D. 2
3. （2021年全国高考甲卷） 已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
一、单选题
1.（2022·北京·模拟预测）已知公差不为零的等差数列，首项，若，，成等比数列，记（，），则数列（ ）
A. 有最小项，无最大项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，无最小项D. 有最大项，有最小项
2.（2022·福建漳州·二模）已知是数列的前n项和，，，，记且，则（ ）
A. 171B. 278C. 351D. 395
3.（2022·福建龙岩·一模）已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 2022D. 4044
二、多选题
4.（2022·湖北·一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A. 地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B. 八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C. 八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D. 记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
5.（2022·海南·模拟预测） “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将1描述为“个，个，个”，则第五项为，，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则从开始出现数字
B. 若，则的最后一个数字均为
C. 不可能为等差数列或等比数列
D. 若，则均不包含数字
6.（2022·福建龙岩·一模）已知数列的前n项和为，，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列的奇数项构成的数列是等差数列B. 数列的偶数项构成的数列是等比数列
C. D.
7.（2022·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A. B. 当时，最小
C. 当时，最小D. 存在，使得
8.（2022·湖北·一模）已知三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，SA平面ABC，P为平面ABC内部一动点（包括边界）.若SA=，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为，点P到AB，AC，BC的距离分别为，那么（ ）
A. 为定值B. 为定值
C. 若成等差数列，则为定值D. 若成等比数列，则为定值
三、填空题
9.（2022·河北唐山·一模）
记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.
四、解答题
10.（2021辽宁省盘锦市高级中学高三上学期9月月考）. 已知数列是首项为，公比为的等比数列，其前项和为.
（1）若成等差数列，求的值；
（2）若的前项和为，求的最值.
11.（2022江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）设公比的等比数列满足：，且是与的等差中项.
（1）求数列通项公式；（2）求数列的前项和.
12（2021广东省深圳市横岗高级中学高三第一次月考）
已知数列的前项和满足，，且．
（1）求证：数列是常数列；
（2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和．