高中数学高考考点17 函数与方程（原卷版）

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考点17  函数与方程【命题解读】函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容，不仅在大题中体现，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上。【基础知识回顾】  1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、 二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．3、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系  Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像交点(x1，0),_(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210  4、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1、若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（    ）A. 0或－          B. 0          C. －          D. 0或2、函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（    ）A. 1          B. 2          C. 3          D.43、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（    ）A.         B.         C. (－∞，－1)        D. (－∞，－1)∪4、函数f(x)＝的零点个数是________． 5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x．则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．7、(一题两空)已知函数f(x)＝若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________． 考向一　判断零点所在的区间例1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数的零点所在区间为（    ）A． B． C． D．变式1、（1）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内  B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内  D．(－∞，a)和(c，＋∞)（2）已知函数f(x)＝lnx－的零点为x0，则x0所在的区间是(    )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. (0，1)　　　　　  B. (1，2)　　　　　　  C. (2，3)　　　　  D. (3，4)（3）若x0是方程＝x的解，则x0属于区间(　   　)A.   B.C.   D. 方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.考向二  判断零点的个数 例2、（1）函数f(x)＝的零点个数为（    ）A. 1          B. 2          C. 3          D.4（2）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（    ） A. 1          B. 2          C. 3          D.4（3）(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________． 变式1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为         变式2、（1）(2019·十堰调研)已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　　)A．0　　　　　　　　　　 B．1C．2  D．3（2）(2020·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)A.0   B.1   C.2   D.3 方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考向三   与零点有关的参数的范围例3、（1）已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．（2）（2014·江苏卷）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝．若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．  变式1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．变式2、若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是____________．方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象考向四    零点的综合运用例4、已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（    ）A. (0,+ ∞)         B. (0,1)          C. (－∞,0)          D. (0,2)  变式1、设函数f(x)＝－ax2(a∈R)．(1)当a＝2时，求函数y＝f(x)的零点；(2)当a>0时，求证：函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点；(3)若函数y＝f(x)有4个不同的零点，求实数a的取值范围．  变式2：(2018镇江期末）已知k为常数，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四个不同解，则实数k的取值构成的集合为________．  方法总结：函数零点与二次函数的综合问题，主要考查函数零点、方程的根以及不等式的解法等基础知识和基本方法，考查推理论证和运算求解的能力．解决这类问题，一是用零点的定义转化为方程问题，二是利用零点存在定理转化为函数问题，三是利用数形结合的思想转化为图形问题．1、(2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是A．      B．      C．      D．2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为________.3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________．