高中数学高考考点18 函数模型及其运用（原卷版）

这是一份高中数学高考考点18 函数模型及其运用（原卷版），共7页。
【命题解读】
函数模型做为考查内容之一，涉及到一些常见的函数如一元二次函数、指数函数、对数函数等，考查中常见小题的形式出现。
【基础知识回顾】
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
2.几种常见的函数模型
3. 解函数应用题的步骤
第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．
1、 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为(C )
(参考数据lg2＝0.301 0，lg5＝0.699)
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
2、 小孟进了一批水果，如果他以每千克1.2元的价格出售，那他就会赔4元，如果他以每千克1.5元的价格出售，一共可赚8元．现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为(B )
A. 1.1元 B. 1.3元 C. 1.5元 D. 2.0元
3、下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是（ ）
A．一次函数模型 B．幂函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型．
4、某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是（ ）
A B C D
5、 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（ ）m．
A．400 B．12 C．20 D．30
6、一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一
A．24 B．12 C．18 D．16
考向一 二次函数模型
例1、A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km．已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0．25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
变式1、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq \f(1,3)x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋eq \f(10 000,x)－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
．
方法总结：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解．
考向二 指数函数、对数函数模型
例2、诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6．24%．资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1．031 29＝1．32)
变式1、（2019秋•菏泽期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是
A．蓝藻面积每个月的增长率为
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过
D．若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则一定有
方法总结：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解
考向三 分段函数模型
例3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
变式1、某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝eq \f(1,2)x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(35－2x （x∈N*，且1≤x≤6），,\f(160,x) （x∈N*，且7≤x≤12）.))
(1)写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；
(2)试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
方法总结：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
1、(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
2、已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg．
（1）y与x的关系式为 ；
（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过 小时（精确到0.1）．
（参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1）
3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数的边际函数定义为．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为 （单位：万元），成本函数（单位：万元），该公司每月最多生产台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数及边际利润函数；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到）
（3）求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．
4、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为元时，生产件产品的销售收入是（元），为每天生产件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售， ，其中为最高限价，为销售乐观系数，据市场调查，是由当是，的比例中项时来确定.
（1）每天生产量为多少时，平均利润取得最大值？并求的最大值；
（2）求乐观系数的值；
（3）若，当厂家平均利润最大时，求与的值. 函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关的模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27