高中数学高考考点20 平面向量的概念与运算及几何性质-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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【命题解读】
平面向量的概念与运算这一部分，高考的考察比较少，主要集中在向量的运算以及它的几何性质部分，对于平面向量的运算，要注意运算的法则，注意向量是矢量这一知识点。
【命题预测】
预计2021年的高考对于平面向量的概念及运算部分考察还是以小题为主，如果出题可能以选择题的形式出现。
【复习建议】
集合复习策略：
1.理解平面向量的概念，几何表示；
2.掌握平面向量的运算及几何意义。
考向一 平面向量的概念
1．平面向量的有关概念
2. 说明:零向量的方向是不确定的、任意的.
规定:零向量与任一向量平行.
1.【2020安徽高二学业考试】如图，菱形的对角线和相交于点，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为四边形为菱形，对角线和相交于点，
所以，，，故A，B，D正确.
而，不一定相等，故C错误.
故选：C
2.【2020全国高二课时练习】给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若，满足且，同向，则；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量，，必有.
其中正确命题的序号为________.
【答案】④
【解析】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；
对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；
对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；
只有④正确.
故答案为：④
考向二 平面向量的线性运算
1. 向量的线性运算
2.常用三角公式
向量的共线定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使b=λa.
1. 【2020山东省招远第一中学高三期中】若M为△ABC的边AB上一点，且则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意做出图形，如图，
所以，
所以.
故选：A.
2. 【2020忻州市第二中学校高三月考】如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在平行四边形ABCD中，，故A错误；
由向量减法法则得，故B错误；
由向量加法的平行四边形法则知，即C正确；
由于，故D错误；
故选：C.
3. 【2020沙坪坝·重庆南开中学高三月考】在平行四边形中，，，，交于F且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
对于选项A：，故选项A不正确；
对于选项B：易证，所以，所以，故选项B正确；
对于选项C：，即，所以
，所以，解得：，
，因为，所以，
故选项C正确；
对于选项D：
，故选项D正确.
故选：BCD
题组一
1. 【2019江西八校联考】在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝eq \f(1,3)AB，BQ＝eq \f(1,3)BC.若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3) bB．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b
C．eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)bD．－eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b
2. 【2020珠海市第二中学高二月考】已知，为单位向量，则的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
3.【2020黑龙江哈尔滨三中高三期中（理）】在中，，则（ ）
A．B．C．D．
4. 【2020北京顺义高一期末】如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A．B．C．D．
5. 下面的命题正确的有（ ）.
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若、、、是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
6. 在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7. 【2019辽宁大连双基测试】在锐角△ABC中，eq \(CM,\s\up6(→))＝3eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(x,y)＝________.
8. 【2019山东菏泽模拟】如图，有5个全等的小正方形，eq \(BD,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(AF,\s\up6(→))，则x＋y的值是________.
题组一
1. A【解析】eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b.
故选A
2.D【解析】设的夹角为，，而由已知条件知，同理有，
∴，而，
∴的最大值为.
故选：D
3.A【解析】.
故选：A
4. B【解析】因为在矩形中，为中点，
所以.
故选：B.
5.AD
【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；
向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
、、、是不共线的点，，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.
故选：AD
6.ABD
【解析】对于A：在四边形ABCD中，，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：ABD.
7. 3
【解析】由题设可得eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝3(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→)))，即4eq \(AM,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，亦即eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，则x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)，故eq \f(x,y)＝3.
8. 1
【解析】因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，而eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))＋eq \(HB,\s\up6(→))＝2eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))－(2eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→)))＝3eq \(AE,\s\up6(→))－2eq \(AF,\s\up6(→)).
又eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))不共线，且eq \(BD,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(AF,\s\up6(→))，所以xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(AE,\s\up6(→))－2eq \(AF,\s\up6(→))，
所以x＝3，y＝－2，故x＋y＝1.名称
定义
表示
向量
在平面中,既有大小又有方向的量
用a,b,c,…或AB,BC,…表示
向量的模
向量a的大小,也就是表示向量a的有向线段AB的长度 (或称模)
|a|或|AB|
零向量
长度为0的向量
用0表示
单位向量
长度等于1个单位的向量
用e表示,|e|=1
平行向量
方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)
a∥b
相等向量
长度相等且方向相同的向量
a=b
相反向量
长度相等,方向相反的向量
向量a的相反向量是-a
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)加法交换律:a+b= b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c= a+(b+c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
三角形法则
a-b= a+(-b)
数乘
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘, 记作λa
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
(1)对向量加法的分配律:λ(a+b)= λa+λb;
(2)对实数加法的分配律:(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a