高中数学高考考点22 圆锥曲线的综合应用（2）（解析版） 试卷

考点22 圆锥曲线的综合应用（2）
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、(2019宿迁期末） 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则双曲线C的顶点到渐近线的距离为________.
【答案】 　
【解析】抛物线y2＝16x的焦点为F(4，0)．因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以c＝4，离心率e＝＝2，所以a＝2，b＝＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，顶点为(－2，0)，(2，0)，故双曲线C的顶点到渐近线的距离为＝.
2、(2018苏锡常镇调研（一））已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：(x－2)2＋y2＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．
【答案】 　
【解析】解法1 由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切．
由题意得A(－2，0)，C(2，0)．若圆D与圆C外切，则DC－DA＝；若圆D与圆C内切，则DA－DC＝.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线－＝1上，即14x2－2y2＝7.又点D在直线l上，由得12x2－8x－15＝0，解得xD＝或xD＝－.所以xP＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝.
解法2 由题意可得A(－2，0)，设P(a，a＋2)，则AP的中点M，AP＝，故以AP为直径的圆M的方程为＋＝.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切)，故＝，解得a＝或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为.

3、 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2－＝1 (b＞0) 的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝2的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为________．
【答案】 　
【解析】由题意，双曲线C的渐近线方程为y＝±bx，如图所示，两条渐近线与圆O的四个交点为A，B，C，D.不妨设点B的坐标为(m，n)，则解得m2＝，而矩形ABCD的面积为2m×2n＝4mn＝4bm2＝＝b，解得b＝.
4、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．
【答案】 　
【解析】由圆x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，知圆心C(0，3)，半径r＝2.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即>2，即3a>2c，即e＝1，故双曲线离心率的取值范围是.
【问题探究，变式训练】
题型一 圆锥曲线中的最值与范围关系
知识点拨：求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．

例1、(2019无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点，点P在第四象限， A为左顶点， B为上顶点， PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 求 △PCD 面积的最大值．

解答. (1) 由题意得：得a2＝4，b2＝1，(4分)
故椭圆C的标准方程为：＋y2＝1.(5分)
(2) 由题意设lAP：y＝k(x＋2)，－8，
所以AC2＝16＋]＝16(1＋]＝16(1＋)．(14分)
因为′＝1－>0在t∈(8，＋∞)上恒成立，
所以t＋＋8在t∈(8，＋∞)上单调递增，
所以t＋＋8>18, 0