高中数学高考考点22 圆锥曲线的综合应用（2）（原卷版）

考点22 圆锥曲线的综合应用（2）【知识框图】　【自主热身，归纳总结】1、(2019宿迁期末） 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则双曲线C的顶点到渐近线的距离为________. 2、(2018苏锡常镇调研（一））已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：(x－2)2＋y2＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．3、 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1 (b＞0) 的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝2的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为________．4、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．【问题探究，变式训练】题型一 圆锥曲线中的最值与范围关系知识点拨：求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．例1、(2019无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))，点P在第四象限， A为左顶点， B为上顶点， PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．【变式1】(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，右准线方程为x＝4，过点P(0，4)作关于y轴对称的两条直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与椭圆交于不同两点D，C.(1) 求椭圆M的方程；(2) 证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC长的取值范围．【变式2】(2019南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于eq \r(2).(1) 求椭圆C的方程；(2) 设经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q(m，0)．①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；②设点F为椭圆C的左焦点，若点Q为△FAB的外心，求实数m的值．【变式3】(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②求eq \o(PB,\s\up6(→))·eq \o(PM,\s\up6(→))的取值范围．【变式4】(2017镇江期末）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))在椭圆C上．(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求△POQ面积的最大值．思路分析 第2问，处理本题有两处需要思考一下：一是“线段PQ的中点为H”的刻画方式，另一个是△POQ面积的表示形式．由于OH＝1，所以直线PQ的斜率不能为0，但斜率不存在情形符合题意，故直线PQ的方程可设为x＝my＋n，中点H用中点公式刻画，此时△POQ面积可用割补法表示，即S△POQ＝S△POD－S△QOD.【变式5】(2017苏北四市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，且右焦点F到左准线的距离为6eq \r(2).(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.①当直线PA的斜率为eq \f(1,2)时，求△FMN的外接圆的方程；②设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值．题型二 向量与圆锥曲线的综合问题知识点拨：解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法， 向量与圆锥曲线的综合问题方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的两种解法分属于设点法和设线法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利例2、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.(1) 若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；(2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且eq \o(AC,\s\up6(→))＝λeq \o(AQ,\s\up6(→))，求λ的取值范围．【变式1】(2019常州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的焦点在椭圆C2：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1上，其中a>b>0，且点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(6),3)))是椭圆C1，C2位于第一象限的交点．(1) 求椭圆C1，C2的标准方程；(2) 过y轴上一点Q的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知eq \o(QA,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \o(QB,\s\up6(→))，求直线l的斜率．【变式2】(2018常州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，点A是椭圆的左顶点，过原点的直线MN与椭圆交于M，N两点(M在第三象限)，与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN，且eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)b2.(1) 求椭圆C的离心率e；(2) 若S△AMN＋S△POF＝eq \f(10,3)a，求椭圆C的标准方程．【变式3】(2018南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))处时，点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，0)).(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且eq \o(DN,\s\up6(→))＝2eq \o(NM,\s\up6(→))时，求直线BM的方程．【变式4】(2018苏锡常镇调研（二））如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）求证：为定值．