高中数学高考考点24 数列通项与求和问题（原卷版）

这是一份高中数学高考考点24 数列通项与求和问题（原卷版），共4页。

【自主热身，归纳总结】
1、（2017无锡期末）对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝________.
2、(2017南京学情调研）已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn.若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝________.
3、(2017南京、盐城二模）记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为________．
4、(2017无锡期末） 设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－eq \f(1,8)，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为________．
5、(2019南京学情调研）在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋eq \f(1,n（n＋1）)(n∈N*)，则a10的值为________．
6、(2019南京三模） 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝eq \f(1,2)，且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，则a2 015＝________.
7、(2018盐城三模）设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 ．
8、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则(akak＋1)的值为________．
9、(2016扬州期末）已知数列{an}中，a1＝a(02，,－an＋3， an≤2))(n∈N*)，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，若Sn＝2015，则n＝________.
10、（2017苏州期末）已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时n的值为________．
【问题探究，变式训练】
题型一 数列的通项公式
知识点拨：求数列的通项公式常用的方法：若出现连续两项差的形式则运用叠加法，若出现连续两项商的形式，则运用累乘法，若一个数列不是等差数列页不是等比数列页不符合前两种形式，则运用构造法，构造一个新的数列为等差数列或者等比数列。
例1、(2016苏北四市摸底）已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2＋k(n∈N*，k∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4.
(1) 若k＝0，求数列{an}的前n项和Sn；
(2) 若a4＝－1，求数列{an}的通项公式．
【变式1】(2019苏州期末）定义：对于任意n∈N*，xn＋xn＋2－xn＋1仍为数列{xn}中的项，则称数列{xn}为“回归数列”．
(1) 已知an＝2n(n∈N*)，判断数列{an}是否为“回归数列”，并说明理由；
(2) 若数列{bn}为“回归数列”，b3＝3，b9＝9，且对于任意n∈N*，均有bn①求数列{bn}的通项公式；
②求所有的正整数s，t，使得等式eq \f(beq \\al(2,s)＋3s＋1－1,beq \\al(2,s)＋3s－1)＝bt成立．
【变式2】(2019常州期末）已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*.
(1) 求证：{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2) 数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由．
【变式3】(2019镇江期末）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64.数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2.
(1) 分别求数列{an}与{bn}的通项公式．
(2) 若不等式λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2b1)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2b2)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2bn)))(3) 已知k∈N*，对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m，使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
【变式4】(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有．
（1）求数列 QUOTE 的通项公式；
（2）若 QUOTE 为等差数列，对任意的，都有．证明：；
（3）若 QUOTE 为等比数列 QUOTE ，，，求满足 QUOTE 的值．
【变式5】(2018常州期末）已知各项均为正数的无穷数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝a(其中a为常数)，nSn＋1＝(n＋1)Sn＋n(n＋1)(n∈N*)．数列{bn}满足bn＝eq \r(\f(aeq \\al(2,n)＋aeq \\al(2,n＋1),anan＋1))(n∈N*)．
(1) 求证：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；
(2) 若无穷等比数列{cn}满足：对任意的n∈N*，数列{bn}中总存在两个不同的项bs，bt(s，t∈N*)，使得bs≤cn≤bt，求{cn}的公比q.
题型二 数列的求和问题
知识点拨：数列求和的方法比较多：公式法；错位相减法；倒叙相加法；裂项法；分组求和法等。数列求和，则应根据通项的特点选择对应的求和方法，其中错位相减法和裂项相消法经常考到，
例1、(2016苏北四市期末）已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*)．
(1) 若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；
(2) 若λ＝eq \f(1,2)，求Sn.
【变式1】(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝aeq \\al(2,n)＋an，数列{bn}满足b1＝eq \f(1,2)，2bn＋1＝bn＋eq \f(bn,an).
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 设数列{cn}满足cn＝eq \f(bn＋2,Sn)，求和c1＋c2＋…＋cn；
(3) 是否存在正整数p，q，r(p【变式2】(2018苏州暑假测试）已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1) 若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2) 当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn；
(3) 若对任意n∈N*，都有eq \f(aeq \\al(2,n)＋aeq \\al(2,n＋1),an＋an＋1)≥5成立，求a1的取值范围．
【关联1】(2017南京、盐城二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－eq \f(Sn,n)，(n＋2)cn＝eq \f(an＋1＋an＋2,2)－eq \f(Sn,n)，其中n∈N*.
(1) 若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
(2) 若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．
【关联2】(2018南京学情调研）已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{aeq \\al(2,n)}的前n项和为Tn，且3Tn＝Seq \\al(2,n)＋2Sn，n∈N*.
(1) 求a1的值；
(2) 求数列{an}的通项公式；
(3) 若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．