高中数学高考考点24 章末检测四（解析版）

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1、（2021·浙江高三其他模拟）函数在处的导数是（ ）
A．B．C．6D．2
【答案】A
【解析】
的导函数为,
故当x=0时，.
故选：A
2、（2021·陕西西安市·长安一中高三月考（文））曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
时，，故切点为，
，当时，，
所以切线方程为，即.
故选：A
3、（2021·淮北市树人高级中学高二期末（文））已知直线与曲线相切，则（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】B
【解析】
设切点坐标为，求导得，则，得，又，得.
故选：B.
4、（2018年高考全国Ⅲ卷理数）函数的图像大致为
【答案】D
【解析】函数图象过定点，排除A，B；
令，则，
由得，得或，此时函数单调递增，
由得，得或，此时函数单调递减，排除C.
故选D.
5、（2021·常州·一模）设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y＝x，则函数的增区间为
A．(0，1) B．(0，) C．(，) D．(，1)
【答案】C
【解析】的定义域为，
∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，
∴解得：
∴
欲求的增区间
只需，解得：
即函数的增区间为(，)
故选：C
6、（2021·山东日照市·高三其他模拟）关于函数，的性质，以下说法正确的是（ ）
A．函数的周期是B．函数在上有极值
C．函数在单调递减D．函数在内有最小值
【答案】D
【解析】
对于A，因为，当时，，所以函数的周期不是，A错误；
对于B，因为，设，
，当时，，
所以，即，故函数在上单调递减，B错误；
对于C，，所以函数在上不单调，C错误；
对于D，因为当时，，当时，，当且仅当时取等号，而在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，D正确．
故选：D.
7、（湖南省常德市2021届高三模拟）若则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由函数，，
所以时，，函数 单调递增，时，，函数 单调递减，
又，与，所以将不等式两边取自然对数得，
故选：A．
8、（2021·江苏扬州市高三模拟）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，函数定义在上的奇函数，在单调减，
所以在单调减，且
若函数，
当时，，，此时无解；
当时，，可得，，此时无解；
当时，，可得，此时成立；
当时，可得，，所以，
所以当时，满足不等式，
令，可得函数的定义域为，
且，所以函数奇函数，
所以当时，满足不等式成立，
综上可得，不等式的解集为.
故选：B.
多选题
9、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是
A．函数的增区间是，
B．函数的增区间是，
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【答案】
【解析】：根据题意，由函数的图象可知：
当时，，，此时为增函数，
当时，，，此时为减函数，
当时，，，此时为减函数，
当时，，，此时为增函数；
据此分析选项：函数的增区间是，，则正确，错误；
是函数的极大值点，是函数的极小值点，则正确，错误；
故选：．
10、（2021·山东济南市·高三一模）已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在处取得极大值
C．当时，D．的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【解析】
A：，由题意，得，正确；
B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；
C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；
D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；
故选：ABD.
11、（2021·山东潍坊市·高三三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的周期为B．的图象关于对称
C．的最大值为D．在区间在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
由于，故A正确；
由于，
即的图象不关于对称，故B错误；
当时，，函数单调递增；
当或时，，函数单调递减；
所以，故C正确；
由C项分析可知，在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
12、（江苏省连云港市2021届高三调研）已知函数，则（ ）.
A．是奇函数B．
C．在单调递增D．在上存在一个极值点
【答案】BCD
【解析】
对于选项A：因为为奇函数，若是奇函数，则为偶函数，令则显然不是偶函数，故A错误；
对于选项B： ，且 故B正确；
对于选项C：
令，
令
当时，，，在递增，
所以在单调递增，故C正确；
对于选项D：
令，
令，递减

故在递减 故在递减

使在递增，递减．
故在上存在一个极值点，故D正确．
故选：BCD
三、填空题
13、（2021·山东德州市·高三期末）已知直线是曲线的一条切线，则_________．
【答案】．
【解析】
对，，由，得时， ，
所以，．
故答案为：．
14、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）在平面直角坐标系中，是曲线（）上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是________．
【答案】6
【解析】
：当直线平移到与曲线相切位置时，
切点即为点到直线的距离最小.
由，得（负值舍去），，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为：．
15、（2021·山东青岛市·高三期末）设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由可得，
在点处的切线斜率为，所以，
将点代入可得，
所以方程即有两个不等实根，
等价于与图象有两个不同的交点，
作的图象如图所示：
由图知：若与图象有两个不同的交点则吗，
故答案为：
16、（湖北省九师联盟2021届高三联考）已知函数，若且，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
因为，作出函数的图象如下图所示：
设，则，
由，可得，由，可得.
令，其中，，可得.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，.
因此，的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17、（2021·山东济南市·高三一模）已知函数.若，求的最小值；
【解析】
时，.
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时的极小值为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时的极小值为；
因为，所以的最小值为；
18、已知函数f (x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－eq \f(4,3)处取得极值．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝f (x)ex，讨论g(x)的单调性．
【解析】
(1)对f (x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，
因为f (x)在x＝－eq \f(4,3)处取得极值，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝0，
即3a×eq \f(16,9)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝eq \f(16a,3)－eq \f(8,3)＝0，解得a＝eq \f(1,2).
(2)由(1)得g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x3＋x2))ex，
故g′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x2＋2x))ex＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x3＋x2))ex
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x3＋\f(5,2)x2＋2x))ex
＝eq \f(1,2)x(x＋1)(x＋4)ex，
令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4，
当x