高中数学高考考点25 空间点、线、面的位置关系-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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考点25空间点、线、面的位置关系【命题解读】   空间点、直线、平面的位置关系是高考常考知识点之一，它的出题形式多样，在选择题或者填空或者解答都有可能涉及，这部分以简单和中档题为主，主要是考察空间想象力和空间思维能力。【命题预测】预计2021年的高考对于空间点、线、面的位置关系出选择题的可能性比较大，对于异面直线所成的角解答题有可能涉及到，因此这部分要加强复习。【复习建议】  1.能直观认识空间点、线、面的位置关系，并能抽象出空间点、线、面的位置关系；2.掌握4个基本事实和1个定理。考向一　空间点、线、面的位置关系1.四个基本事实 文字语言图形语言符号语言作用基本事实1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 ⇒l⊂α可用来证明点、直线在平面内基本事实2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α①可用来确定一个平面;②证明点、线共面基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l①可用来确定两个平面的交线;②判断或证明多点共线;③判断或证明多线共点基本事实4平行于同一条直线的两条直线互相平行a∥b,b∥c⇒a∥c证明空间中两条直线平行2.基本事实2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面. 3.空间直线的位置关系(1)位置关系的分类空间直线4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α=A1个 平行a∥α0个 在平面内a⊂α无数个 平面与平面平行α∥β0个 相交α∩β=l无数个 1.【2020四川高三期中】 ，是不同的直线，，是不重合的平面，下列说法正确的是（    ）A．若，，，，则；B．若，，，则；C．若，，则；D．，是异面直线，若，，，则.【答案】D【解析】对于，若，，当时，可能有两个面相交．所以不正确若，，，则，也可能，是异面直线，所以不正确；对于，若，，，则，也可能，是异面直线，所以不正确；对于，若，，则，也可能，所以不正确；对于，过作，，直线，是相交直线，确定平面，由题意可得，，，，所以正确；故选：D．2. 【2020山西省古县第一中学高二期中】若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（    ）A．只有一条 B．无数条C．是平面内的所有直线 D．不存在【答案】B【解析】直线与平面不垂直,一定存在，使得成立，因此在平面内，与平行的所有直线都与直线垂直，因此有无数条直线在平面内与直线垂直.故选：B考向二  异面直线所成的角1.异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围:. 2.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 1.【2020北京四中高二期中】设、是异面直线，给出下列命题：①经过直线有且仅有一个平面平行于直线；②经过直线有且仅有一个平面垂直于直线；③存在分别经过直线和直线的两个平行平面；④存在分别经过直线和直线的两个互相垂直的平面．其中错误的命题为（    ）A．①与② B．②与③ C．②与④ D．仅②【答案】D【解析】对于①，选一条直线与平行，且与相交，则由公理的推论可知，通过与有且仅有一个平面，此时，故①正确；对于②，若与不垂直，则直线不可能垂直于直线所在的平面，故②错；对于③，取平面与平面，且使，若，，且与不平行，则异面，故③正确；对于④，若、异面，则存在一条直线，使得，，设由、所确定的平面为，则一定可以过直线作一个平面，使得，故④正确.故选：D.2. 【2020河北高三期中】如图，在三棱锥D-ABC中，，一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形EFGH．已知，，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D．【答案】A【解析】EFGH是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以（或其补角）就是异面直线EG和AC所成的角，因为，所以，因为，，所以，故．故选：A3. 【2020湖北高三月考】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（    ）A．D1D⊥AFB．A1G∥平面AEFC．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍【答案】BCD【解析】A选项，由，即与并不垂直，所以D1D⊥AF错误.B选项，如下图，延长FE、GB交于G’连接AG’、GF，有GF//BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以，而，即；又因为面 面=，且面，面，所以A1G∥平面AEF，故正确.C选项，取中点，连接，由题意知与平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为，若正方体棱长为2，则有，即在中有，故正确.D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为、，则由且，知，故正确. 故选：BCD 题组一（真题在线）1. 【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是__________．① ② ③ ④3. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行     C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面4. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线5. 【2019年高考北京卷理数】已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m； ②m∥；  ③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．题组二1. 【2020全国高三（理）】在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值．其中真命题的个数是A．3  B．2 C．1  D．02. 【2020福建师大附中高三期中】在正方体中，记平面为，若平面，平面，则，所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．3. 【2020吉林高二期中（理）】设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出如下命题：①若，，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则.其中正确命题的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．44. 【2020河南高三月考（理）】在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面，，若，则l与BD所成角的正切值是（    ）A． B．1 C．2 D．45. 【2020东台创新高级中学高一月考】设，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则6. 【2020山东济宁·高三其他模拟】如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ）A．在棱上存在点，使平面 B．异面直线与所成的角为C．二面角的大小为 D．平面 7. 【2020北京四中高二期中】正方形与正方形有公共边，平面与平面所成角为60°，则异面直线与所成角大小等于______．8. 【2020重庆南开中学高三期中（理）】正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_______．9. 【2020浙江温州高二期中】如图所示，在三棱锥中，平面，，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正切值.  题组一1.B【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选：B2. ①③④【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，所以，，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题.故答案为：①③④.3. B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．4. B【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相交直线.过作于，连接，平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，，，故选B． 故选：B．5. 如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.6.  C【解析】由题可得则．故选C．7. C【解析】由得则对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选C．8. D【解析】．故选D．9. 【解析】．10. 【解析】 由题可得．11. 【解析】，令，解得．题组二1.B【解析】以A点为坐标原点，AB,AD,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），可得=(1,1,1),=(t-1，1，-t)，可得=0，故异面直线与所的角是定值，故①正确；三棱锥的底面面积为定值，且∥,点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值，故②正确；可得=(t，1，-t)，=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面的一个法向量为=（1，1，1），可得不为定值，故③错误;故选B．2.D【解析】如图，连接，可得在正方体中，，即四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，又平面，，，，同理可得平面，平面，，，，即为，所成角，为等边三角形，，.故选：D.3.B【解析】对于①，由平面与平面垂直的性质知，所以①正确；对于②中，，可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③中，，，时，只可能有，所以③正确；对于④中，与的位置关系可能是或或与相交，所以④不正确；综上，可知正确命题的个数为2.故选：B.4. C【解析】由及线面平行的判定定理，得，再由线面平行的性质定理，得．所以与所成角是，从而．故选：C．5.BC【解析】若，，推不出，故A错误；若，，则，故B正确若，，则，故C正确若，，，则可以平行、相交、异面，故D错误故选：BC6.ABC【解析】如图，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，，又，平面，平面，，故A，B正确；对于C，∵平面平面，，平面，,，是二面角的平面角，设，则，，在中，，即，故二面角的大小为，故C正确；对于D，假设平面，则，又依题意平面平面，，则平面，故，而BD，BM相交，且在平面ABCD内，故平面，与平面矛盾，因此与平面不垂直，故错误.故选：ABC.7. 【解析】 面面，且，，面连接，如图所示，则，又，则面，面，即是等腰直角三角形，则异面直线与所成角大小等于故答案为：8. 【解析】如图，，，且，侧棱和底面垂直，∴，∴，且，∴，∴异面直线与成角的大小为．故答案为：．9. 见解析【解析】（1）取线段中点，连接、、，则，且，从而或其补角就是直线与所成的角.平面，平面，，同理可得，为的中点，则，，，为的中点，则，，，，则，由余弦定理可得，因此，异面直线与所成角的余弦值为；（2）可知二面角的平面角与二面角的平面角互补.在平面内作直线于，连接，平面，平面，，同理可得，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，在中，由余弦定理得，由等面积法可得，，在中，，二面角的正切值为.