高中数学高考考点26 同角三角函数的基本关系及诱导公式（原卷版）

考点26 同角三角函数的基本关系及诱导公式

【命题解读】

理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(kZ)，－α，π±α，±α]．能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明

【基础知识回顾】 

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．

2．诱导公式

3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：

即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．

4、三角形中的三角函数关系式

sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；

cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；

tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；

sin＝sin＝cos；

cos＝cos＝sin.

1、是第三象限角，且，则（　　）

A． B． C． D．

2、已知，则（   ）

A． B．6 C． D．

3、sin 600°＋tan 240°的值为（     ）

 A.  B.  C.  D.

4、已知sin＝，则cos等于(　　)

A.   B.  C．－  D．－

5、化简：的值为（     ）

 A.  B.  C.  D.

6、 sin ·cos ·tan的值为（     ）

 A.  B.  C.  D.

考向一　三角函数的诱导公式

例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝．

(1)若cos＝，求f(α)的值；

(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．

变式1、角的终边在直线上，则（  ）

A． B． C． D．

变式2、 已知sin(3π＋θ)＝，则＋

＝__     __．

变式3、已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f＝________.

方法总结：1、熟知将角合理转化的流程

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”

2．明确三角函数式化简的原则和方向

(1)切化弦，统一名．

(2)用诱导公式，统一角．

(3)用因式分解将式子变形，化为最简．

考向二  同角函数关系式的运用

例2　(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_  __．

(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __．

变式1、若3sinα＋cosα＝0，则＝   ___．

 变式2、(1)若tan(α－π)＝，则＝(　　)

A.－   B.－2   C.   D.2

(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．

考向三  同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用

例3、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．

变式1、已知sin(3πα)=cos，cos(α)=cos(π+β)，0<α<π，0<β<π，求α，β的值．

方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.

2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.

1、（2016新课标卷3，理5）若 ，则

(A)            (B)            (C)  1            (D)

2、（2016全国课标卷3，文6）若 ，则（      ）

（A）    （B）      （C）     （D）

3、(2012江西)若，则tan2α=（  ）

A．−        B．        C．−        D．

4、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

5、已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：

(1)＋的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．