高中数学高考考点28 空间向量的概念及运算-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

考点28空间向量的概念及运算

【命题解读】

  空间向量是历年高考中经常出现的知识点，尤其是新课改以后，空间向量作为新高考书目的一章来讲解，更加突出了它的重要性，空间向量的考察往往是作为一种工具来运算，因此在立体几何中经常用到它，复习中注意它的概念和运算。

【命题预测】

预计2021年的高考空间向量还是会出题，这部分单独出题的可能性不大，结合立体结合出题难度还是以中档题为主。

【复习建议】 

1.了解空间向量的概念及运算.

2.会运用空间向量的运算解决一些计算。

考向一　空间向量的有关概念

1.空间向量的概念：在空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量．空间向量的大小称为向量的长度或模.空间向量一般用字母a，b，c…表示。

2. 共线向量(平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合.

3. 共面向量：平行于同一平面的向量

4. 共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb

5. 共面向量定理：若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb

6. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p= xa+yb+zc

1. 【2020陕西富平高二期末（理）】若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是（    ）

A． B． C． D．l与斜交

【答案】B

【解析】由题得，，则，又是平面的法向量，是直线l的方向向量，可得.

故选：B

2. 【2019甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理）】若平面，的法向量分别为，，则(    )

A． B．与相交但不垂直

C． D．或与重合

【答案】A

【解析】因为平面，的法向量分别为，

即，所以

所以

故选：A

考向二  空间向量的运算

1.空间向量的数量积

(1)a·b=|a||b|cos<a,b> 

(2)a⊥b⇔ a·b=0 (a,b为非零向量). 

(3)|a|2= a2;设a=(x,y,z),则|a|=. 

2.空间向量的坐标运算

a=(a1,a2,a3),  b=(b1,b2,b3)

（1）a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)

（2）a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

（3）a·b= a1b1+a2b2+a3b3

（4）a∥b⇒ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0) 

（5）a⊥b⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0

（6）cos<a,b>=

1. 【2019江西高安中学高二期末】在空间直角坐标系中，已知，，则点B的坐标是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设，，

则，

而，

所以，解得，

所以，

故选：C.

2.【2019四川双流中学高二期中（理）】已知，，则，夹角的余弦值______.

【答案】

【解析】因为，

所以，，

故答案为：

3.【2019江苏苏州高二期中（理）】已知空间向量，，，，若，则实数________.

【答案】

【解析】因为，，所以

，又因为

所以设，则解得

故答案为：

题组一

1. 【2019江苏省苏州实验中学高二月考】已知，若点D是AC中点，则(    )

A．2 B． C．-3 D．6

2. 【2019湖南茶陵三中】在空间直角坐标系中,正方体棱长为为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点的坐标为（   ）

A． B． C． D．

3. 【2018东莞高级中学高一月考】已知空间上点和，则为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．1

4.【2020西宁市海湖中学高二月考（理）】若，，则(  )

A． B． C． D．

5.【2020陕西大荔高二期末（理）】已知向量，，且与互相垂直，则的值是（  ）

A．-1 B． C． D．

6.【2020南京市秦淮中学高二期末】对于任意非零向量，，以下说法错误的有(    )

A．若，则

B．若，则

C．

D．若，则为单位向量

7. 【2019晋江市南侨中学】已知向量，则与共线的单位向量（    ）

A． B．

C． D．

8. 【2020江苏连云港高二期末】已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，则（    ）

A．AP⊥AB B．AP⊥ BP C．BC＝ D．AP// BC

题组一

1.D

【解析】,

,,

.

故选:D.

2.C

【解析】由正方体的性质可得，设，则，因为，，解得，则点的坐标为，故选C.

3.C

【解析】由空间两点间距离公式.

故选：.

4. C

【解析】∵，，

∴，

∴.

故选：C

5. D

【解析】∵向量（1，1，0），（﹣1，0，2），

∴k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），

2（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2， 2），

∵k和2互相垂直，

∴（k）•（2）＝

解得k．

故选D．

6.  BD

【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；

对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；

对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；

对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.

故选：BD.

7. AC

【解析】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．

故，而，所以或．

故选：AC．

8. AC

【解析】因为，故A正确；，，故B不正确；，，故C正确；，，各个对应分量的比例不同，故D不正确。

故选:AC。