数学八年级下册17.1 勾股定理教学设计及反思

第三讲  勾股定理

一、知识梳理：

考点1：勾股定理  如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么

说明：勾股定理说明了三角形的三边关系，这个定理的前提条件是：三角形必须是直角三角形。其结论是：两直角边的平方的和等于斜边的平方。 由于所以。同理可证，即直角三角形的斜边长于每一条直角边。

考点2：勾股定理的证明  勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：，，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　

大正方形面积为           所以  

方法三：，，化简得

二、课堂精讲：

（一）直接运用勾股定理

例1．已知直角三角形中两直角边。求斜边c的长度。

【随堂演练一】【A类】

1．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长________。

2．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？

（二）作长度为带根号线段

例2.已知长为a的线段如下，请作出长为a的线段b．（保留作图痕迹，不写作法）

【随堂演练二】【A类】

1.已知长为a的线段如下，请作出长为a的线段b．（保留作图痕迹，不写作法）

（三）利用勾股定理列方程

例3.如图，把一张长为8cm、宽6cm的矩形纸片沿EF折叠，使B点恰好落在D处，求ED长度。

【随堂演练三】【A类】

1.已知Rt△ABC中，AB=12，AC+BC=18，求AC与BC的长。

2.如图，将边长为16cm的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕MN，则线段CN长度是多少？

（四）最值问题

例4.如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路多少？

【随堂演练四】【B类】

1.如图圆柱形容器高18cm，底面周长60cm。在距底面1cm 的C处有一只蜘蛛，与C正对的距容器上底面1cm的F处有一只苍蝇。请问，蜘蛛到苍蝇的最短距离是多少？

2.如图，A，B两村在一条河流CD的同侧，A，B与该河距离分别为100米、700米，且C，D之间距离为600米．现要建一自来水厂向A、B两村送水，铺设水管工程费用为每米200元，请你上选择水厂位置P，使铺设水管费用最省，并求出铺设水管总费用是多少元？

（五）构造直角三角形的应用

例5.如图，AB为一棵大树，在树上垂直地面距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.

【随堂演练五】【C类】

1.如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？

2.由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，则A市是否会受到这次沙尘暴的影响？

3.如图，甲以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达A、B两点，且知AB=30海里，问乙每小时航行多少海里？

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一.填空：

1．在Rt△ABC，∠C=90°，a、b分别为直角边，c为斜边：

⑴已知a=b=5,则c=          。    ⑵已知a=1,c=2, 则b=          。

⑶已知c=17,b=8, 则a=          。 ⑷已知a：b=1：2,c=5,则a=          。

2．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边长度为          。

3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8㎝，AB=10㎝，则△ABC的面积为________，最长边上的高等于_______．

4．“亡羊补牢，为时不晚”．丁丁爸爸要在高0.9米，宽1.2米的栅栏门的相对角顶点加固一个木板，这条木板需________米长．

5．已知Rt△ABC的周长为4+2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为_____。

6．如图所示，直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，则以AC为直径的半圆（阴影部分）的面积为_________

7．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为__________.

二.选择。（选择正确的答案的序号填在括号内。）

1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

     A.25   B.14   C.7   D.7或25

2．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）

     A.121  B.120   C.132   D.不能确定

3．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（　　）

     A.60∶13  B.5∶12  C.12∶13  D.60∶169

4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

     A.24cm2   B.36cm2  C.48cm2  D.60cm2

5．两只小鼹鼠在地下同一处开始打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只

朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（     ）

A．50cm       B．100cm          C．140cm        D．80cm

6．一个圆桶底面直径为10cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（    ）

A．20cm    B．24cm    C．25cm    D．30cm

7.在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则△ABC的周长是（    ）

A．14       B．42       C．32       D．42或32

8.如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　）

A．-4和-3之间  B．3和4之间  C．-5和-4之间  D．4和5之间

9．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形(如图20所示)，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，那么(a+b)的值为（     ）

A．13       B．19        C．25        D．169

【B类】

三、解答题。

1．已知：如图，等边△ABC的边长是6cm，CD平分AB。

⑴求等边△ABC的高。                                      

⑵求S△ABC。

2．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，  求竹竿高与门高。

3．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

4．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？

5．如图，甲轮船以32海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=60海里，问乙轮船每小时航行多少海里?

6．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.

7．将一根长24㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露出在杯子外面长为h㎝，你能求出h的取值范围吗?

8.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次有多长时间？

9.如图，一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发，小岛P在船的北偏西15°方向，船每小时航行15海里，11时到达点B处，小岛P此时在船的北偏西30°方向．
（1）求此时距小岛为多少海里？
（2）在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由．

第五讲  勾股定理【答案】

例1.解：∵

∴由勾股定理得

【随堂演练一】【A类】

1. 第三边长
2. 答：这根旗杆被吹断裂前至少12.8米。

例2．作图略

【随堂演练二】【A类】

作图略

例3.ED=5cm

【随堂演练三】【A类】

1.解：  设AC=，则BC=

∵

由勾股定理得

∴

解得：

则AC=13，BC=18-13=5

2.CN=6cm

例4．最短路线为13cm.

【随堂演练四】【A类】

1.     答：蜘蛛到苍蝇的最短距离为34cm
2.     答：铺设水管的总费用为200000元。

例5．树高AB为12m.

【随堂演练五】【A类】

1.     答：E应建在距A2.5km处。
2.     解：  答：A市会受到沙尘暴的影响。
3.     答：乙每小时航行12海里。

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一、填空：

二、选择：

三、解答：

1.（1）高为   （2)

2.答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺。

3.（1）梯子的顶端距地面24米。（2）梯子的底端在水平方向滑动了8米。

4.小汽车的速度为72千米/时，所以超速了。

5.乙轮每小时航行24海里。

6.EC的长为3cm.

7.h的取值范围为11≤h≤12

8.（1）160＜200，所以受影响。（2）A城遭受这次台风6小时。

9.（1）此时距小岛45海里。  （2）45÷2=22.5＞20，所以轮船不会有触礁危险。