2.1二次函数的图像和性质 教案

二次函数的图像和性质

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核心内容
二次函数的图像和性质

课型

一对一

教学目标
掌握二次函数的概念、图像和性质，并能根据二次函数的图像和性质解决相关问题

重、难点
能根据二次函数的图像和性质解决相关问题


课首沟通
1、一元二次方程常见的解法有哪几种？
2、一元二次方程根的判别式是什么，根与系数有什么样的关系？

知识导图

课首小测

1. [单选题]
A .x1=-1 x2=2 B.x1=1 x2=-2 C.x1+x2=3 D.x1x2=-2

2. [单选题] 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．12 B． 14 C．12或14 D．以上都不是

3. 若a,b是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则a2+b2= 。

4. 已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根为x1，x2，那么(1+x1)(1+x2)的值是 ；

5. 关于x的方程 是一元二次方程的条件是 。



导学一 ： 二次函数的定义


知识点讲解
二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零．
（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）



例 1. [单选题] 下列函数关系式中，y是x的二次函数的是（ ）
A.y=3x+1 B.y=x2+2x-1 C.y=-x y=1

例 2. [单选题] 函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是（ ）
A.m、n是常数，且m≠0 B.m、n是常数，且m≠n C.m、n是常数，且n≠0 D.m、n可以为任何常数



例 3.










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1. [单选题] 在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A.y=x2 C.y=kx2 D.y=k2x


2. [单选题] 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
2 C．y=2x+1 2 2
B．y=x +x﹣2 D．y =x +3x


3. [单选题] 下列函数中，不是二次函数的是（ ）
2 2 C．y＝（x－1）（x＋4） 2 2 A．y＝1－x B．y＝2（x－1） ＋4 D．y＝（x－2） －x

4.

导学二 ： 二次函数的图像与性质
知识点讲解 1、二次函数y=ax2的图象和性质

例 1. 在直角坐标系中，画出函数y=2x2的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？



描点，连线

根据所画出的函数图像，在下表中填写此函数的开口方向，对称轴，顶点坐标以及增减性。





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1. [单选题] 抛物线y=-x2不具有的性质是（
A.开口向上

）


B.对称轴是y轴
C.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大

D.最高点是原点

知识点讲解 2：二次函数y=ax2+k的图象和性质

例 1. 在同一直角坐标系中，画出y=2x2,y=2x2+3,y=2x2-3的图像，并总结这三个函数的性质。

描点，连线






这三个函数的图象之间有什么关系？
2 2
2
通过观察、分析，可以发现：函数y=2x +3，y＝2x -3与y＝2x 的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．
2
2
函数y=2x +3的图象可以看作是将函数y＝2x 的图象向 平移 个单位得到的．它的对称轴是直线 ，顶
点坐标是（ 2， 平移 个单位得到的．它的
2
）函数y＝2x -3的图象可以看作是将函数y＝2x 的图象向
对称轴是直线 ，顶点坐标是（ ， ）．
归纳：1根据以上的发现，请你说出在同一直角坐标系中，抛物线y=ax2通过怎样的平移，可以得到抛物线y=ax2+k和抛物 线y＝ax2-k（k>0）
(1) 抛物线y=ax2向 平移 个单位得到抛物线y=ax2+k
(2) 抛物线y=ax2向 平移 个单位得到抛物线y=ax2-k


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1. [单选题] 二次函数y=x2的图像向上平移两个单位，得到的新的二次函数解析式为（ ）
A.y=x2-2 B.y=(x-2)2 C.y=x2+2 D.y=（x+2）2

2. [单选题]
A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x值的增大而增大




3.



知识点讲解 3：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质

x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x2
…






1
…

例 1. 在直角坐标系中，画出函数y=2x2、y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象． 解：列表

x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=2(x-1)2
…







…


x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y=2(x+1)2
…







…

描点、连线，画出这两个函数的图象．（画在坐标纸上）

根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性．



这三个函数的图象之间有什么关系？
通过观察、分析，可以发现：函数y=2(x+1)2，y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不 同．
函数y＝2（x－1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向 平移 个单位得到的．它的对称轴是直线
，顶点坐标是（ ， ）．
函数y=2(x+1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向 平移 个单位得到的．它的对称轴是直线 ， 顶点坐标是（ ， ）．
归纳：1根据以上的发现，请你说出在同一直角坐标系中，抛物线y＝ax2通过怎样的平移，可以得到抛物线y＝ax(x-h)2 和抛物线y＝a(x+h)2（h>0）
(1) 抛物线y＝ax2向 平移 个单位得到抛物线y＝ax(x-h)2
(2) 抛物线y＝ax2向 平移 个单位得到抛物线y＝ax(x+h)2

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1. 函数y=3(x-9)2的图象可以看作是将函数y=3x2的图象向 平移 个单位得到的．它的对称轴是直线 ，顶点坐标是（ ， ）．

2. [单选题] 下列二次函数中，对称轴是直线x=1的是（ ）
A.y=x2+1 B.y=2(x+1)2 C.y=-(x+1)2 D.y=-3(x-1)2

3. 已知一条抛物线的开口方向、形状都与函数y=-2x2完全相同
（1） 若顶点坐标为（3，0），则这条抛物线所对应的函数关系式为

（2） 若顶点坐标为（-1，0），则这条抛物线所对应的函数关系式为

导学三 ： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的联系知识点讲解
五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然
后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称 的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.






例 1. 抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小

例 2. [单选题] 抛物线的顶点坐标是( )
A.(-3, -4) B.(-3, 4) C.(3, -4) D.(-4, 3)

例 3. [单选题] 已知抛物线 的部分图像（如图所示），图像再次与x轴相交时的坐标是（ ）

A.（5，0） B.（6，0） C.（7，0） D.（8，0）

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2
1. 已知二次函数y=2x +4x﹣1，用配方法其该二次函数图象的顶点坐标及对称轴．






2. 已知抛物线y=x2+2x+3
（1） 该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；
（2） 选取适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x
…





…
y
…





…

（3） 若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．






3. 已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0），列表如下：

（1） 根据表格所提供的数据，请你写出顶点坐标 ，对称轴 。
（2） 求出二次函数解析式。



导学四 ： 二次函数的平移
知识点讲解





例 1. [单选题] 二次函数y=x2的图像向上平移两个单位，得到的新的二次函数解析式为（ ） A.y=x2-2 B.y=(x-2)2 C.y=x2+2 D.y=（x+2）2

例 2. [单选题] 将抛物线y=x2的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的解析式是（ ）

A.y=(x+2)2+3 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x-2)2-3

例 3. [单选题]
将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）

A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4 C.y=(x+2)2+6

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D.y=(x-4)2+6

1. [单选题]
将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的解析式为（


）

A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3

A.y=3(x-2)2-3

2.




3.
如果将抛物线y=x2+2x-1向上平移，使它经过点(0,3),那么所得新抛物线的表达式是

4. 抛物线y=-2(x-1)2-4可由抛物线y=-2x2先沿X轴向 平移 单位，再沿Y轴向 平移 单位得到。

导学五 ： 二次函数的图像与各项系数之间的关系
知识点讲解






例 1. [单选题]
抛物线y=-4x2+5的开口方向（ ）
A.向上 B.向下 C.向左 D.向右



例 2. [单选题]


A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.abc>0

例 3.
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如下图所示，有下列5个结论， (1)abc>0；（2）a+b+c>0; (3)4a+2b+c<0；（4）b>a+c；（5）b2-4ac>0

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1.

2.







3.






4.








限时考场模拟 ： （15min）

1. [单选题]
A.（2，0） B.（-2，0） C.（1，－3） D.（0，－4）






2. [单选题]






A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. [单选题]

A．x=-2a B．x=4 C．x=2a D．x=-2

4. [单选题]
A．2 B．-4 C．2或-4 D．无法确定


5.


6. 已知一个二次函数的图像在Y轴左侧部分是上升的，在Y轴右侧部分是下降的，又经过点A（1，1），那么这个二次函数的解析式可以是 （写出符合要求的一个解析式即可）
课后作业

1. [单选题] （2015•柳州）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y
＞0时，自变量x的取值范围是（ ）


A.x＜﹣2 B.﹣2＜x＜4 C.x＞0 D.x＞4

2. [单选题] （2014牡丹江中考）将抛物线向左平移一个单位，得到的抛物线与 轴的交点坐标是（
）
A. B. C. D.

3. [单选题] （2015安顺中考）如图为二次函数（ ）的图像，则下列说法： ； ；
； 当 时， .其中正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4




4. [单选题]



A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

5. [单选题] 已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2015的值为（ ） A．2015 B．2014 C．2016 D．2013

6.


7.
二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第 象限。









8.





















1、 总结一下二次函数的图像与性质、平移、二次函数的图象与各项系数之间的关系。
2、 完成老师规定的作业，制定相应的学习安排。

课首小测
1.C



解析:




2.A
解析: 3.10

解析:

4.8

解析:

5.m≠1
导学一
知识点讲解例题
1.B




解析:




2.B



解析:



3.m=0；m≠0且m≠1．



解析:



我爱展示
1.A
解析:试题分析：因为形如y=ax2+bx+c的函数是二次函数，所以y=x2是二次函数，所以A正确，故选：A.

2.B
2
解析:试题分析：二次函数的一般形式为：y=ax +bx+c（a≠0）．
2
解：根据二次函数的一般形式可知：y=x +x﹣2是二次函数．
故选：B．

3.D
2 2 2 2
解析:选项A，y=1-x =-x +1，是二次函数，选项A正确；选项B，y=2（x-1） +4=2x -4x+6，是二次函数，选项B正确；选
2 2 2
项C，y=（x-1)（x+4）=x +3x-4，是二次函数，选项C正确；选项 D，y=（x-2） -x =-4x+4，是一次函数，选项D错误．
故答案选D． 4.5

解析:已知该函数是二次函数，所以m2+2m-13=2,且m-3的值不等于0，故m=5.
导学二
知识点讲解 1、二次函数y=ax2的图象和性质例题


1.



描点，连线略
根据所画出的函数图像，在下表中填写此函数的开口方向，对称轴，顶点坐标以及增减性。
我爱展示
1.A
知识点讲解 2：二次函数y=ax2+k的图象和性质例题



1.





描点，连线略






我爱展示
1.C

解析:

2.B




解析:





3.y=﹣x2+2
解析:由题意设出函数的一般解析式，再根据①②③的条件确定函数的解析式． 设函数的解析式为：y=kx+b，
∵函数过点（1，1），∴k+b=1…①
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k＜0…②， 又∵当自变量的值为3时，函数值小于0，
当x=3时，函数y=3k+b＜0…③
由①②③知可以令b=2，可得k=﹣1，此时3k+b=﹣3+2＜0，
∴函数的解析式为：y=﹣x2+2．


知识点讲解 3：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质例题










1.










描点，连线（略）



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1.右;9;x=9;(9,0)
2.D
3.(1)y=-2(x-3)2
(2)y=-2(x+1)2
导学三
知识点讲解例题
1.向下；y轴（或直线x=0）；（0,-3）；<0；>0
2.A
3.C
我爱展示
1.二次函数图象的顶点坐标为：（﹣1，﹣3）对称轴为：直线x=﹣1．
解析:试题分析：直接利用配方法将原式变形，进而求出顶点坐标与对称轴． 2 2 2
解：y=2x +4x﹣1=2（x +2x）﹣1=2（x+1） ﹣3，
则二次函数图象的顶点坐标为：（﹣1，﹣3）对称轴为：直线x=﹣1．

2.（1）x=1；（1,3）；
（2）
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
－1
2
3
2
－1
…

；
（3）y1＜y2

解析:（1）对称轴为直线x＝1；顶点坐标为：（1，3）

（3） 因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．





3.






解析:



导学四
知识点讲解例题
1.C

解析:

2.B




解析:




3.B



解析:



我爱展示
1.A



解析:



2.


解析:

3.




解析:




4.





解析:





导学五
知识点讲解例题
1.B

解析:


2.B



解析:



3.












解析:












我爱展示
1.右




解析:




2.m>1
解析:
3.






解析:






4.











解析:










限时考场模拟
1.D

解析:


2.D





解析:





3.D


解析:



4.B





解析:

5.-1.5



解析:



6. y=-x2+2（答案不唯一）




解析:






课后作业
1.B
解析:解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4． 故选：B．
2.B
3.C
4.C

解析:

5.C


解析:



6.-1




解析:




7. 四





解析:







8.











解析: