2.2待定系数法求二次函数解析式 教案

待定系数法求二次函数解析式 学生姓名 年级 学科 授课教师 日期 时段 核心内容二次函数解析式的求解课型一对一/一对N 教学目标掌握二次函数的几种解析式，能结合题目条件求解二次函数解析式；能根据实际问题或者相关条件灵活求解解析式。重、难点能根据实际问题或者相关条件灵活求解解析式。 
课首沟通二次函数的解析式有几种？标准格式分别是怎样的？二次函数的解析式各有什么特征？怎样根据题目条件求解析式？
知识导图课首小测 已知二次函数图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求二次函数解析式.          已知二次函数图像的顶点是（-2，3），且过点（-1，5），求二次函数解析式.          已知二次函数图像与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，且顶点为（1， ），求二次函数解析式.
       
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：(1) 对称轴为          ；(2) 函数解析式          ；(3) 当x     时，y随x增大而减小；(4) 由图象回答：当y＞0时，x的取值范围      ；当y＝0时，x＝     ；当y＜0时，x的取值范围     ． 已知二次函数 ( )中自变量 和函数值 的部分对应值如下表：    则该二次函数的解析式为                 ． 
知识梳理二次函数的解析式相关：二次函数三种解析式： 一般式：y=ax2+bx+c (a(0)； 顶点式：y=a(x(h)2+k (a(0)；交点式：y=a(x(x1)( x(x2) (a(0) 其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 待定系数法求解析式：根据题目条件设置适当的解析式；将题目相关点坐标或者相关条件代入解析式，建立相关等量关系（即方程或者方程组）； 解方程或者方程组，求出相关字母系数；最后写出相关解析式.如何灵活设置解析式：已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式y=ax2+bx+c； 已知图像的顶点或对称轴，最值，通常选择顶点式y=a(x(h)2+k；已知图像与x轴的交点横坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a（x- x1）（x- x2）.导学一 ： 待定系数法求二次函数一般式知识点讲解 1：二次函数一般式y=ax2+bx+c (a(0)待定系数法求一般式步骤： 根据题目条件设置解析式y=ax2+bx+c；将题目相关点或者相关条件代入解析式，建立关于a，b，c，的方程组；
解方程组，求出a，b，c；最后写出相关解析式：y=ax2+bx+c. 例 1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．         例 2. 已知二次函数的图像经过点A 、B 、C ，求二次函数的解析式。        例 3. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－2，5)，且当x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．         例 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式．       我爱展示 1. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，6)，(1，0)，(4，6)三点，求抛物线的解析式．
2. 已知 是x的二次函数，已知当x为 ,0, 时, 相应的y分别为5, , ，求此二次函数的解析式.         )中自变量 和函数值 的部分对应值如下表：  则该二次函数的解析式为           ．   4. 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每千克的批发价y（元）是上市时间x
(天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：（1）  求y与x的函数关系式；（2）  大蒜每千克的批发价为10.8元时，问此时大概是在上市的多少天？          导学二 ： 待定系数法求二次函数顶点式知识点讲解 1：二次函数顶点式y=a（x-h）2+k (a≠0)待定系数法求一般式步骤： 根据题目条件设置解析式y=a（x-h）2+k；将题目相关点或者相关条件代入解析式，建立关于a，h，k的方程； 解方程，求出a，h，k；最后写出相关解析式：y=a（x-h）2+k. 例 1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．        例 2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．
  例 3. 已知二次函数顶点坐标为(－3，－2)，且与直线y＝2x＋6的交点在y轴上，求二次函数解析式．         我爱展示 已知抛物线的顶点为(1，4)，且过(0，3)点，求抛物线的解析式．          已知抛物线的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．         
已知二次函数自变量 和函数值 的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为           ． 已知二次函数的图象与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，且函数有最小值是-4。（1）  求二次函数的解析式；（2）  设二次函数与y轴的交点为C，求△ABC的面积。         导学三 ： 待定系数法求二次函数交点式
知识点讲解 1：二次函数交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)待定系数法求一般式步骤： 根据题目条件设置解析式y=a(x-x1)(x-x2)；将题目相关交点或者相关条件代入解析式，建立关于a的方程； 解方程，求出a；最后写出相关解析式：y=a(x-x1)(x-x2). 例 1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．      例 2. 已知抛物线过点（1，-5），对称轴是直线x=1，且与x轴的两个交点之间的距离为4，求抛物线解析式。        例 3. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：（1）  根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；（2） 
若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？            我爱展示 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2,0），B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）  求该抛物线的解析式；（2）  求该抛物线的顶点坐标.

已知二次函数自变量 和函数值 的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为           ． 已知二次函数的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是8。（1）  求二次函数的图象的解析式；（2）  设次二次函数与y轴交点为P，求△ABP的面积。          
限时考场模拟 ： 20分钟完成 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当  x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．则二次函数解析式为            ． 已知二次函数图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，则二次函数的解析式为                . 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(10，0)两点，其顶点纵坐标是5，则抛物线的解析式为             ． 若一抛物线与 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为               。 已知二次函数为x＝4时有最小值  -3，且它图象与x轴交点的横坐标为1，则二次函数解析式为            ． 二次函数y＝x2－mx＋m－2的图象的顶点到x轴的距离为 则二次函数解析式为                 ．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（-2,0），B（0，-4），C（2，-4）三点，且与 轴的另一个交点为E．（1）  求抛物线的解析式；（2）  求抛物线的顶点D的坐标和对称轴；（3） 
求四边形ABDE的面积．【学有所获】不规则图形的面积有哪些方法？学有所获答案：割补法，铅锤法。
已知抛物线y = ax2－x+c经过点Q（－2，），且它的顶点P横坐标为－1．设抛物线与x轴交于A、B两点，（1）  求抛物线的解析式；（2）  求A、B两点的坐标；（3）  设抛物线与y轴交于C点，求△ABC的面积．         课后作业 1. 抛物线经过三点（－1,0），（2，－6），（－2,10），则抛物线解析式为          . 抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，则抛物线的解析式为                 ． 已知二次函数当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，则函数解析式为                ． 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)，且与x轴只有一个交点．则二次函数的解析式为                 .  5. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(-1，0)，(3，0)，（0，-3），则抛物线的解析式为          ． 二次函数y=ax2+bx+c的图像过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。（1）    求函数解析式；（2） 若图像与x轴交于A、B（A在B左侧）与y轴交于C, 顶点D，求四边形ABCD的面积。         如图，已知二次函数y＝ax2-4x＋c的图像经过点A（-1，-1）和点B（3，-9）．（1）  求该二次函数的表达式；（2）  写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；         已知：抛物线的对称轴为与 轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3,0），C（0，-2）.（1）  求这条抛物线的函数表达式．（2）  已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
 【学有所获】在已知直线上找点到已知两点距离之和最小的方法是什么？学有所获答案：若两点在直线同侧，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点和另外一点，与直线交于 一点，即为所求点；若两点在直线异侧，则直接连接两点与直线形成交点即可。
复习讲过的典型例题，牢记解题规律和格式；认真完成指定作业。
课首小测1.y=-2x2+3x+1.解析:设函数解析式为y=ax2+bx+c∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1）,代入解析式得：c=1，a+b+c=2，4a+2b+c=-1 ， 解之得a=-2，b=3，c=1；∴函数解析式为y=-2x2+3x+1.2. y=2（x+2）2+3.解析:设函数解析式为y=a（x+2）2+3，∵函数过点（-1，5）∴5=a（-1+2）2+3，解之得a=2∴函数解析式为y=2（x+2）2+3. 3.y=  x2-x-4.解析:设函数解析式为y=a（x+2）（x-4），∵函数图像过顶点（1， ）∴ =a（1+2）（1-4），解得a= ∴函数解析式为y= （x+2）（x-4），即 y=  x2-x-44.（1）直线x=-1；（2）y=x2+2x-3；（3） -1；（4）x -3或者x ，-3或1，-3 x 1.5. .解析:由表格可知，二次函数的顶点为（- ），所以可设解析式为y=a  ，再将（0，-2）代入可得a=1，所以解析式为 .导学一
知识点讲解 1：二次函数一般式y=ax2+bx+c (a(0) 例题1. .解析:将三点坐标代入解析式，即可得到关于a，b，c的方程组，解方程组可求出a= ，b= ，c=4，所以解析式为 .解析:设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将三点坐标代入可得到关于a，b，c的方程组，解方程组可求出a=  ，b= ，c= ，所以解析式为 . 3. y=x2-2x+3，（0,3）在函数图象上.解析:由题意可知二次函数还经过A(－2，5)和（2，-3）两点，将这两点代入y＝x2＋bx＋c，可求出b=-2，c=-3，所以解 析式为y=x2-2x+3，令x=0，则y=3，所以（0,3）在函数图象上.4. y=-2x2+4x+4.解析:由题意可知 ，再将(－1，－2)，(1，6)代入，可求出a=-2和1，因为函数具有最大值，所以a=-2，b=4，c=4，所以解析式为y=-2x2+4x+4.我爱展示1. y=2x2-8x+6.解析:设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将(0，6)，(1，0)，(4，6)三点坐标代入可得到关于a，b，c的方程组，解方 程组可求出a=2，b=-8，c=6，所以解析式为y=2x2-8x+6.2. y=x2-2x-3.解析:设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意可知二次函数图像过（-2,5），（0，-3），（1，-4）这三点，代入 解析式可求得a=1，b=-2，c=-3，所以二次函数解析式为y=x2-2x-3.3. y=2x2+4x-6.解析:设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由图表可知二次函数图像过（-1，-8），（1,0），（2,10）三点，代入解析 式可求得a=2，b=4，c=-6，所以解析式为y=2x2+4x-6.4.（1）y= x2 x+ ；（2）大概是上市的第11天或者第19天. 解析:（1）设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由图表可知二次函数图像过（5，15），（15,10），（25,15）三点， 代入解析式可求得a= ，b= ，c= ，所以解析式为y= x2 x+ ；（2）在y= x2 x+ 中，令y=10.8，即 x2 x+ =10.8，解得x=11或者19，所以大概是上市的第11天或者第19天.导学二知识点讲解 1：二次函数顶点式y=a（x-h）2+k (a≠0) 例题1. y=-2（x-2）2+4.解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k. 顶点为(2，4)代入解析式得y=a（x-2）2+4，再将（1,2）代入可求得a=-2，所以解析式为y=-2（x-2）2+4.2. y= （x-6）2+3.
解析:由题意可知对称轴为直线x= ，所以顶点为（6,3），设解析式为y=a（x-6）2+3，再将（0,0）代入求得a=，所以解析式为y= （x-6）2+3. 3. y=（x+3）2-2.解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k，将顶点代入得y=a（x+3）2-2，在直线y＝2x＋6中，令x=0，则y=6，由题意二次 函数与直线的交点为（0,6），将（0,6）代入y=a（x+3）2-2可求得a= ，所以解析式为y= （x+3）2-2.我爱展示1. y=-（x-1）2+4.解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k. 顶点为(1，4)代入解析式得y=a（x-1）2+4，再将（0,3）代入可求得a=-1，所以解析式为y=-（x-1）2+4.2. y= -（x-2）2+4.解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k. 顶点为(2，4)代入解析式得y=a（x-2）2+4，再将（0,0）代入可求得a=-1，所以解析式为y= -（x-2）2+4.3. y=-2（x-1）2+3.解析:由表格可知，二次函数的顶点为（1,3），所以可设解析式为 y=a（x-1）2+3 ，再将（0，1）代入可得a=-2，所以解析式为y=-2（x-1）2+3.4.（1）y=（x+1）2-4；（2）△ABP的面积为s= . 解析:（1）由题意可知对称轴为直线x= ，所以顶点为（-1,-4），设解析式为y=a（x+1）2-4，再将（1,0）代入求得a=1，，所以解析式为y=（x+1）2-4；（2）在y=（x+1）2-4中，令x=0，y=-3，所以C（0,-3），AB=1-（-3）=4，△ABP的面积为s= .导学三知识点讲解 1：二次函数交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 例题1. y=x2- x+4.解析:由题意设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，将(－3，0)，(1，0)两点代入得y=a(x+3)(x-1)，再将(0，4)代入可求得a= ，所以解析式为y=  (x+3)(x-1)，去括号得y= x2- x+4. 2. y= x2- x- .解析:因为对称轴是直线x=1，且与x轴的两个交点之间的距离为4，可求得两个交点为（3,0）和（-1,0），设二次函数解 析式为y=a(x-x1)(x-x2)，将（3,0）和（-1,0）代入得y=a(x-3)(x+1)，再将（1，-5）代入可求得a= ，所以解析式为y= (x-3)(x+1)，去括号得：y= x2- x- .3.（1）y= x2+2；（2）活动范围有 米.解析:（1）由图像可知与x轴两个交点为（-2,0）和（2,0），顶点为（0,2），设解析式为y=a(x(x1)( x(x2)，代入（-2,0）和（2,0）得y=a(x+2)(  x(2)，，再代入（0,2）可求得a=，所以解析式为y=  (x+2)( x(2)，去括号得：y= x2+2；
（2）由题意在y= x2+2中，令y=1.6，即 x2+2=1.6，解得x= ，则活动范围为 （米），在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有 米.我爱展示1.（1）y=2x2+2x-4；（2）顶点为（ ）.解析:（1）由题意设二次函数解析式为y=a(x(x1)( x(x2)，将A（-2,0），B（1，0）代入得y=a(x+2)( x(1)，再将C（2，8）代入可求得a=2，所以解析式为y=2(x+2)( x(1)，去括号得y=2x2+2x-4；（2）由A（-2,0），B（1，0）可得对称轴为直线x= ，在y=2x2+2x-4中，令x= ，y= ，所以顶点为（ ）.2.y=-x2-2x+3.解析:由表格可知二次函数图像过（-3,0），（0,3），（1,0），所以设解析式为y=a(x(x1)( x(x2)，代入（-3,0）和（1,0）得：y=a(x+3)( x(1)，再将（0,3）代入可求得a=-1，所以解析式为y=-(x+3)( x(1)，去括号得：y=-x2-2x+3. 3.（1）y=-2（x-1）2+8；（2）ABP的面积为s= . 解析:（1）由题意可知对称轴为直线x= ，所以顶点为（1,8），设解析式为y=a（x-1）2+8，再将（-1,0）代入求得a=-2，，所以解析式为y=-2（x-1）2+8；（2）在y=-2（x-1）2+8中，令x=0，y=6，所以P（0,6），AB=3-（-1）=4，△ABP的面积为s= .限时考场模拟1.y=1.5x2+0.5x.解析:由题意可知二次函数经过（0,0），（1,2），（-1,1）三点，代入解析式可求得a=1.5，b=0.5，c=0，所以解析式 为y=1.5x2+0.5x.2.y= （x+2）2+3.解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k，代入顶点得y=a（x+2）2+3，再代入（1,0）求得a=  ，所以解析式为y= （x+2）2+3.    3.y= （x-5）2+5.解析:由题意可知对称轴为直线x= ，所以顶点为（5,5），设解析式为y=a（x-5）2+5，再将（0,0）代入求得a=，所以解析式为y= （x-5）2+5. 4.y= （x-1）2+5.解析:由题意可知对称轴为直线x=1，因为抛物线与 轴两个交点间的距离为8，所以抛物线与x轴有（-3,0）和（5,0）两个交点，由此设解析式为y=a（x-1）2+5，再将（-3,0）代入，解得a= ，所以解析式为y= （x-1）2+5.5.y= （x-4）2-3.解析:由题意可知与x轴交点为（1,0），顶点为（4，-3），设解析式为y=a（x-4）2-3，将（1,0）代入解得a=  ，所以解析式为y= （x-4）2-3.6.y=x2 - 或者 y=x2- 。
解析:∵二次函数y=x2-mx+m-2的图象的顶点到x轴的距离为 ，a=1＞0 ∴抛物线开口向上，故  ；解得（2m-1）（2m-7）=0，m1= ，m2= ， 故函数解析式为y=x2 - 或者 y=x2-。7.（1）y=1/2x2-x-4；（2）顶点D为（1，-9/2），对称轴为x=1；（3） S=1/2*2*4+1/2（4+9/2）*1+1/2*（4-1）*9/2=15. 解析:（1）将A,B,C三点代入得：4a-2b+c=0，c=-4,4a+2b+c=-4，解得：a=1/2，b=-1，c=-4，所以解析式为：y=1/2x2-x-4；（2）y= y=1/2x2-x-4=1/2（x-1）2-9/2，所以顶点D为（1，-9/2），对称轴为x=1；（3）令=0，即y=1/2x2-x-4=0，解得x=4或-2，所以E（4,0），四边形ABDE的面积为： S=1/2*2*4+1/2（4+9/2）*1+1/2*（4-1）*9/2=15. 8.（1）y=-1/2x2-x+3/2；（2）令y=0，即-1/2x2-x+3/2=0，解得x=-3或者1，所以A（-3,0），B（1,0）；（3）令x=0，则y=3/2，所以三角形ABC的面积为：s=1/2*4*3/2=3.解析:（1）由题意，将Q点代入得：4a+2+c=3/2 ，又因为顶点P横坐标为－1，所以1/2a=-1,解得：a=-1/2，c=3/2，所以解析式为：y=-1/2x2-x+3/2；（2）令y=0，即-1/2x2-x+3/2=0，解得x=-3或者1，所以A（-3,0），B（1,0）；（3）令x=0，则y=3/2，所以三角形ABC的面积为：s=1/2*4*3/2=3.课后作业1.y=2x2-4x-6.解析:设抛物线为y＝ax2＋bx＋c，将三点代入得：a-b+c=0,4a+2b+c=-6,4a-2b+c=10，解得a=2，b=-4，c=-6，所以解析 式为：y=2x2-4x-6.2.y=-（x-2）2+4。解析:由题意可设y=a（x-2）2+4，又因为抛物线过原点，所以y=a（x-2）2+4，解得a=-1，所以解析式为：y=-（x-2）2+4。 3.y=（x+1）2-4。解析:由题意可设解析式为y=a（x+1）2-4，因为图象在x轴上截得线段长为4，所以经过（1,0）和（-3,0），代入（1,0）得：0=a（1+1）2-4，解得a=1，所以解析式为：y=（x+1）2-4。4.y=4/9x2-4/9x+1/9.5.y=x2-2x-3。6.（1）y=-x2-2x+3.（2）四边形面积为：s=1/2*1*3+1/2*2*4+1/2（3+4）*1=9. 解析:（1）将（1，0）（0，3）代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0，c=3，-b/2a=-1，解得a=-1，b=-2，c=3，所以解 析式为：y=-x2-2x+3.（2）由解析式可求得顶点D为（-1,4），令y=0，即-x2-2x+3=0，解得：x=-3或者1，可得A（-3,0），所以四边 形面积为：s=1/2*1*3+1/2*2*4+1/2（3+4）*1=9.
7.（1）y=x2-4x-6；（2）对称轴为x=2，顶点为（2，-10）.8.（1）y=x2+2x-3；（2）P（-1，-2）. 解析:略