4.3与圆有关的位置关系 教案

与圆有关的位置关系

学生姓名

年级

学科

授课教师

日期

时段

核心内容
点和圆、直线和圆的位置关系
课型
一对一/一对N


教学目标
1. 能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点与圆的位置关系．
2. 理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，掌握它们的判定方法．
3. 掌握切线的性质和切线的判定，能正确作圆的切线.


重、难点
1. 掌握圆的切线的性质及判定定理．
2. 理解切线长的概念，掌握由圆外一点引圆的切线的性质．
3. 理解三角形的内切圆及内心的概念，会作三角形的内切圆,外接圆．


课首沟通
抽查学生上节课内容掌握情况；检查作业；了解学生学校进度.
知识导图



课首小测

1. [单选题] 已知⊙O的半径为5cm，OP=4cm，点P与⊙O的位置关系为（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定

2. [单选题] 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P( )．
A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的内部

3. [单选题] 已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB=65°，则∠APB等于( )．


A．65° B．50° C．45° D．40°

4. [单选题] 如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，若∠DBC= ，则( )．
A．∠A=90°－ B．∠A= C．∠ABD= D．∠
5. [单选题] 如图，△ABC中，∠A=60°，BC=6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为
( )．
A．2 B．3 C．4 D．6

6. [单选题] （2015年越秀区初三上期末） 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（3，2） D．（4， ）


导学一 ： 点与圆的位置关系

例 1. 已知⊙O的半径为3cm，当一个点p距离圆心O的距离如下：
①当OP>3cm时，P与⊙O的位置关系是 .
②当OP=3cm时，P与⊙O的位置关系是 .
③当OP<3cm时，P与⊙O的位置关系是 _ .

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1. [单选题] （2014年白云区初三上期末） ⊙O的直径为10cm，OP=7cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定

2. [单选题] 已知⊙O的半径为8，A为线段PO的中点，当OP=12时，点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定

3. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4 cm,CM为中线,以C为圆心,cm为半径作圆,则A,B,M三点在圆外的有 , 在圆上的有 ,在圆内的有 .


导学二 ： 直线与圆
知识点讲解 1：直线与圆的三种位置关系设圆心到直线 的距离为 ，圆的半径为 ，则直线与圆相离 ；
直线与圆相切 ；（直线与圆只有一个公共点） 直线与圆相交 ．

例 1. 如图,在矩形ABCD中,AB=6 ,BC=4,☉O是以AB为直径的圆,则直线DC与☉O的位置关系是 .

例 2. [单选题] （2015年天河初三上期末） 在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与
⊙P的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是

例 3. [单选题] （2014年花都区初三上期末） 已知⊙O的半径为3，直线l到圆心O的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
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1. [单选题] 圆最长弦为12 ，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为 ，那么（ ）
A． B． C． D．

2. （2014年白云区初三上期末） 在△ABO中，OA=OB=2cm，⊙O的半径为1cm，当∠AOB= °时，直线AB与⊙O相切．

3. [单选题] （2015年海珠区初三上期末） 如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB=8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移（ ）






A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

知识点讲解 2：切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

例 1. （2015年牡丹江市中考） 如图,点C是☉O的直径AB延长线上的一点,且有BO=BD=BC.（有点连线证垂直）
(1) 求证:CD是☉O的切线.
(2) 若半径OB=2,求AD的长.




例 2. （2015年荔湾区初三上期末） 如图，AB地半圆O的直径，AD和BC是它的两条切线，切点分别为A、B，CO平分
∠BCD．
（1） 求证：CD是半圆O的切线．
（2） 若AD=2，CD=5，求BC的长．





例 3. （2015年海珠区初三上期末） 如图，已知OA是圆O的半径，点B在圆O上，∠OAB的平分线AC交圆O于点C，CD⊥AB于点D，求证：CD是圆O的切线．












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1. （2015年荔湾区初三上期末） 如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1） 求证：AT平分∠BAC；
（2） 若AD=2，TC= ，求⊙O的半径．







2. （2015年天河区初三上期末） 如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1） 证明：CE是⊙O的切线；
（2） 设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8时，求 CD+OD的最小值．



3. （2015年黔东南州中考） 如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证AC与
⊙O相切.（无点作垂证半径）




知识点讲解 3：切线的性质
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

例 1. [单选题] （2015年泰安市初三二模） 如图，AB与⊙O相切于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，则劣弧 的长是（ ）






C．
A． B． D．

例 2. [单选题] （2016年保定市月考） 如图，如果直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°， 弦EF∥AB，则EF的长是（ ）


A．2 B．8 C．2 D．2

例 3. 如图,AB为☉O的直径,BC 切☉O于B,CO交☉O于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=25°,求∠A的度数.




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1. [单选题] （2015年黔西南州中考） 如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点
E,则∠E等于( )
A.50° B.40° C.60° D.70°

2. （2015年济南市中考） 如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,∠BAD=35°,过点D作☉O的切线交AB的延长线于点C,则
∠C= .

3. （2015年永州市中考） 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为的中点．
（1） 求证：AB=BC；
（2） 求证：四边形BOCD是菱形．

知识点讲解 4：切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

例 1. 如图,PA,PB分别切☉O于A,B,并与☉O的切线,分别相交于D,C,已知PA=7cm,则△PCD的周长等于 .

例 2. [单选题] （2015年花都区初三上期末） 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若∠OAB=30°，则∠P的度数为（ ）






A．60° B．90° C．120° D．无法确定

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1. （2015年海珠区初三上期末） 如图，PA，PB是圆O的切线，切点分别是A，B，若∠AOB=120°，OA=1，则AP的长为
．

2. 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,以AD为直径的☉O切BC于E,连接OB,OC,试探究OB与OC有何位置关系?





3. 已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P． 求证：⊙P与OB相切．






导学三 ： 三角形内切圆
知识点讲解 1：内切圆的作图
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形
三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等

例 1. 如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）




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1. 如图所示，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．

（1） 用尺规作图：作△ABC的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 如果AC=8，BC=6，试求△ABC内切圆的半径．




知识点讲解 2：内切圆的性质和计算

例 1. （2015年海珠区初三上期末） 如图，⊙O是△ABC的内切圆，其切点分别为D、E、F，且BD=3，AE=2，则AB= ．



例 2. 如图,已知☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,如果AE=2,CD=1,BF=3,求内切圆的半径r.




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1. （2015年天河区初三上期末） 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r= ．

2. （2015年白云区初三上期末） 如图，I是△ABC的内心，且∠A、∠B、∠C的平分线延长线分别交外接圆于P，Q，R 点．
（1） 若 所对的圆心角为140°，则∠BAP= °；
（2） 线段PI与弦BP大小关系如何？请给出证明；
（3） 证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB．




导学四 ： 三角形外接圆
知识点讲解 1：外接圆的作图
外接圆：过三角形各个顶点的圆叫三角形的外接圆；
三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心；
锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外； 外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等.

例 1. 尺规作图：任意画一个钝角三角形，然后作出它的外接圆．（请保留作图痕迹）




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1. （2014年） 在平面直角坐标系中，已经A（8，0），B（0，6）
（1） 利用尺规作出△AOB的外接圆⊙M；（保留作图痕迹，不写作法）．
（2） ①在你所作的⊙M中，过点B的切线BC交x轴于点C，求直线BC的解析式．
②若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长度．



知识点讲解 2：外接圆的性质和计算

例 1. [单选题] （2015年萝岗区初三上期末） 如图，△ABC是○O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于
（ ）
A．110° B．130° C．120° D．140°

例 2. （2015年萝岗区初三上期末） 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心．OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，垂足为
E，若DE=3，则BC= ．

例 3. （2015年萝岗区初三上期末） 如图，△ABC的两条高AD、CE相交于点H，D、E分别是垂足，过点C作BC的垂线交
△ABC的外接圆于点F，求证：AH=FC．






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1. [单选题] （2015年酒泉市中考） 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°

2. （2015年海珠区初三上期末） 如图，边长为 的正三角形ABC内接于⊙O，则AB所对弧ACB的长为 ．







3. （2015年萝岗区初三上期末） 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直线，点P是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1） 求证：PA是⊙O的切线；
（2） 若PA= ，求⊙O的直径．





限时考场模拟 ：

1. 如图,△ABC的一边AB是☉O的直径,请你添加一个条件,使BC是☉O的切线,你所添加的条件为 .



2. [单选题] （2015年番禺区初三上期末） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°

3. （2015年永州市中考） 如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则
∠B= .

4. [单选题] （2015年天河区初三上期末） 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则它的外接圆的半径长为（ ）
A． cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm

5. [单选题] （2015年重庆市中考） 如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为(
)
A.40° B.50° C.65° D.75°

6. [单选题] （2015年吉林市中考） 如图所示,体育课上,小丽的铅球成绩为6.4m,她投出的铅球落在( )


A.区域① B.区域② C.区域③ D.区域④

7. （2015年湛江市中考） 如图,已知AB是☉O的直径,P为☉O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.
(1) 求证:PA为☉O的切线.
(2) 若OB=5,OP= ,求AC的长.


课后作业

1. （2015年佛山市中考） 半径为4，则直线y=x与⊙P的位置关系是 ．

2. [单选题] 如图，在中， ， ， ， 是斜边 上的中线，以 为直径作⊙O， 设线段 的中点为 ，则点 与⊙O的位置关系是（ ）





A．点 在⊙O内 B．点 在⊙O上 C．点 在⊙O外 D．无法确定3. [单选题] 如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是弧BE上的三等分点，∠AOE=，则∠COE是（ ）




A. B. C. D.

4. [单选题] 如图，AB,AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分 ，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB=DB B．BD=CD C． D．

5. （2015年兰州市中考） 如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM 交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN 于点E.
（1） 求证：DE是⊙O的切线.
（2） DE＝6 cm,AE＝3 cm，求⊙O的半径





6. （2015年天河区初三上期末） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于D，AC平分∠DAB．求证：CD是⊙O的切线．










7. （2015年白云区初三上期末） 如图，直线y=﹣2x﹣10与x轴交于点A，直线y=﹣x交于点B，点C在线段AB上，⊙C与x 轴相切于点P，与OB切于点Q．求：
（1） A点的坐标．
（2） OB的长．
（3） C点的坐标．





8. （2015年番禺区初三上期末） 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点
F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1） 求证：AC是⊙O的切线．
（2） 过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．







9. （2015年天河区初三上期末） 如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．
（1） BE与IE相等吗？请说明理由．
（2） 连接BI，CI，CE，若∠BED=∠CED=60°，猜想四边形BECI是何种特殊四边形，并证明你的猜想．





10. （2015年海珠区初三上期末） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴 负半轴上；
（1）求证：4a+b=0；
（2） 若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；
（3） 若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围．





11. （2015年越秀区初三上期末） 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上（不与A、D重合），点F在边CD上，且
∠EBF=45°．△ABE的外接圆O与BC、BF分别交于点G、H．
（1） 在图1中作出圆O，并标出点G和点H；
（2） 若EF∥AC，试说明 与 的大小关系，并说明理由；

（3） 如图2所示，若圆O与CD相切，试求△BEF的面积．








1. 熟记本节圆的常见解题类型与解题方法，熟记定理，灵活变通；
2. 完成老师规定的作业，制定相应的学习安排。
3. 重点练习切线的性质与判定。

课首小测
1.C
2.D
3.B
4.B
5.A
6.C
解析:把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，则函数的解析式是：y= ，
∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切，∴⊙B的半径是1，则⊙A是2， 把y=2代入y= 得：x=3，则A的坐标是（3，2）．故选：C
导学一例题
1.圆外；圆上；圆内
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1.C
解析:解：∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5，∵OP=7＞5，∴点P在⊙O外． 故选C
2.C
3.点B ；点M ；点A
解析:由勾股定理得,AB=2cm,CM=cm.点M在圆上,AC<,点A在圆内,BC>,点B在圆外.

导学二
知识点讲解 1：直线与圆的三种位置关系例题
1.相离
解析:证明：∵矩形ABC D中,BC=4,∴圆心到CD的距离为4.∵AB为直径,AB=6,∴半径是3.
∵4>3,∴直线DC与☉O相离. 2.B
解析:解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d=8，
∵r=5，∴d＞r，∴⊙P与x轴的相离．故选B． 3.C
解析:解：∵3＞2，∴直线l与⊙O相交．故选C．
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1.A
2.120
解析:解：如图，连接OC，∵⊙O与直线AB相切于点C；∴OC⊥AB；而OA=2，OC=1，
∴∠A=30°；而OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=180°﹣60°=120°，故答案为120．
3.B
解析:解：作OC⊥AB，∵半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB=8cm
∴BO=5，BC=4，∴OC=3cm，∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．故选：B．
知识点讲解 2：切线的判定例题
1.(1)连接OD,如图,
则有BO=BD=BC=DO,
∴∠C=∠CDB,∠DOB=∠BDO.
又∵∠C+∠CDB+∠DOB+∠BDO=180°,
∴∠CDB+∠BDO=90°,即∠CDO=90°,
∴CD是☉O的切线.
( 2 )∵OB=2,∴BD=OB=2,AB=4.
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴AD=2. 2.
解：（1）如图所示：过点O作OE⊥DC，垂足为E．


∵BC是圆0的切线，
∴OB⊥BC．
∴∠CEC=∠OBC=90°．
∵CO平分∠ECB，
∴∠ECO=∠BCO．

在△ECO和△BCO中， ，

∴ECO≌△BCO．
∴OE=OB．
∵OE⊥DC，OE=OB，
∴DC是圆O的切线．
（2）∵AD、DC、CB是圆的切线，
∴DE=DA，EC=CB．
∴BC=DC﹣AD=5﹣2=3． 3.
证明：连结OC，如图，
∵AC为∠OAB的平分线，
∴∠OAC=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥OC，
∴CD是圆O的切线．
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1.
（1） 证明：连接OT；
∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ， 又∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠ATO； 又∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，

∴∠OAT=∠TAC， 即AT平分∠BAC．

（2） 解：过点O作OM⊥AC于M，
∴AM=MD= =1；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC= ，
∴在Rt△AOM中，
； 即⊙O的半径为2．

2.
（1） 证明：连接OC，如图1所示：
∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=∠OCA=30°，∠COE=2∠CAE=60°，
∴∠OCE=180°﹣30°﹣60°=90°，
即CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；
（2） 解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图2所示， 则∠AOF=∠COF= ∠AOC= （180°﹣60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO． 过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°= DC，
∴ CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）最小，
∵OF=OA=4，
∴此时FH=DH+FD=OF•sin∠FOH= ×4=2 ， 即 CD+OD的最小值为2 ．


3.连结OD，过点O作OE⊥AC于E点，
∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB．∴∠ODB=∠OEC=90°． 又∵O是BC的中点，∴OB=OC．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△OBE≌△OCE．
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．
知识点讲解 3：切线的性质例题
1.B
解析:连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°， 又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧 长为= π．故选：B． 2.A
解析:解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC=30°，∴∠COE=60°．∵AB与⊙O相切，∴OC⊥AB， 又∵EF∥AB，∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE= ×2= ，∵EF=2EM，∴EF=2 ．
故选A．
3.∵AB为☉O的直径,BC切☉O于B,∴∠ABC=90°.
∵∠C=25°,∴∠BOC=65°.
∵∠A=∠BOD,∴∠A=32.5°.
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1.A
解析:连接OC,∵CE为切线,∴∠OCE=90°,
∵∠CDB=20°,∴∠COE=40°,∴∠E=50°. 2.20°
解析:连接OD,则∠ODC=90° ,∠DOC=2∠BAD=70°, 因此∠C=90°-70°=20°.


3.
证明：（1）∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC= ∠AOB=30°，
∴∠A=∠OCB，
∴AB=BC；

（2）连接OD，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D为 的中点，
∴ = ，∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD与△COD是等边三角形，
∴OB=BD=OC=CD，
∴四边形BOCD是菱形．
知识点讲解 4：切线长定理例题
1.14cm
解析:设DC与☉O的切点为E,
∵PA,PB分别是☉O的切线,且切点为A,B,
∴PA=PB=7cm;
同理,可得:DE=DA,C E=CB;
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14cm,
故△PCD的周长是14cm. 2.A
解析:解：∵∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，
又∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=360°﹣90°﹣90°﹣120°=60°．
故选A．

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1.
解析:
解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠APB=60°
∴∠APO= ∠APB=30°，
∵OA=1，
∴AP= = ， 故 答 案 为 ： ． 2.OB⊥OC.
解析:∵AD为☉O的直径,四边形AB CD为直角梯形,
∴AB,CD为☉O的切线.
∵☉O与BC相切,
∴∠ABO=∠CBO,∠DCO=∠BCO.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠ BCD=180°.
∴∠OBE+∠OCE=90°
∴∠BOC=90°,所以OB⊥OC
3.过P做PH⊥BO于点H
∵P在角平分线OC上，且PE⊥OA,PH⊥OB
∴PH＝PE∵E在圆上∴PE＝半径∴PH＝半径又∵PH⊥OB所以圆P与圆OB相切
导学三
知识点讲解 1：内切圆的作图例题



1.





解析:分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可．

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1.


①分别作出∠BAC与∠ABC的角平分线，这两条角平分线的交点是△ABC的内切圆的圆心O，
②过点O作OD⊥BC于点D，
③以O为圆心，OD长为半径画圆， 则⊙O即是△ABC的内切圆；

解析:首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得△ABC的 内切圆；

知识点讲解 2：内切圆的性质和计算例题
1.5
解析:
∵⊙O是△ABC的内切圆，其切点分别为D、E、F，且BD=3，AE=2，
∴AE=AF=2，BF=BD=3，
∴AB=AF+BF=2+3=5，
故答案为：5． 2.r=1.
解析:∵☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,
∴AF=AE,EC=CD,DB=BF,
∵AE=2,CD=1,BF=3,
∴AF=2,EC=1,BD=3 ,
∴AB=BF+AF=5,BC=BD+DC=4, AC=AE+EC=3,
∴△ABC是直角三角形且∠C=90°,
∴(AB+BC+AC)r=AC×BC,即6r=6,r=1.
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1.2
解析:
解：如图，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8； 根据勾股定理AB= =10；
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF= （AC+BC﹣AB）；

即 ：r= （6+8﹣10）=2．


2.(1)35；(2)相等；
（3）∵ ，
∴AP＞AB，①
∵ ，
∴CR＞AC，②
∵ ，
∴BQ＞BC，③
∴①+②+③得：
∴AP+BQ+CR＞BC+CA+AB．
解析:
解：（1）∵若 所对的圆心角为140°，
∴∠BAC= ×140°=70°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP= ∠BAC=35°；
（2）相等
∵AP平分∠BAC，BQ平分∠ABC，
∴∠BIP=∠BAP+∠ABI= （∠BAC+∠ABC），
∠IBP=∠IBC+∠PBC，
∵∠PBC=∠PAC= ∠BAC，
∴∠IBP= （∠BAC+∠ABC），
∴∠BIP=∠IBP，
∴BP=PI；
（3）∵ ，
∴AP＞AB，①
∵ ，
∴CR＞AC，②
∵ ，
∴BQ＞BC，③
∴①+②+③得：
∴AP+BQ+CR＞BC+CA+AB．

导学四
知识点讲解 1：外接圆的作图例题
1.如图所示


解析:作钝角三角形△ABC两边AB、BC的垂直平分线，相交于点O，则⊙O就是△ABC的外接圆．
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1.
解：（1）如图所示：
（2） 过点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图1所示，

∵BC与⊙M相切，AB为直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°， 而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴

即
，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
，


解得OC=4.5，
∴C点坐标为（﹣4.5，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，6）、C点（﹣4.5，0）分别代入 ，


解得： ，

∴直线BC的解析式为y= x+6；
（3） 作ND⊥x轴，连结AE，如图1，
∵∠BOA的平分线交AB于点N，
∴△NOD为等腰直角三角形，

∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND= ，
∴OD= ，ON= ND= ，
∴N点坐标为（ ， ）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即 ：6=AN：10，解得AN= ，
∴BN=10﹣ = ，
∵∠OBA=∠OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即 ：NE= ： ，解得NE= ，
∴OE=ON+NE= + =7
知识点讲解 2：外接圆的性质和计算例题
1.D
解析:解：∵∠ABC=70°，
∴∠AOC=2∠ABC=140°．
故选D． 2.6
解析:
解：∵AD=BD，AE=CE
∴BC=2DE=6． 3.
证明：延长AD交圆于点N，连接BF、AF、CN．
∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEH=∠NDC=90°，
又∵∠EAH=∠DCN
∴∠AHE=∠N
∵∠NHC=∠AHE
∴∠NHC=∠N，
∴NC=CH
又∵BC⊥NH
∴DN=DH，
∴CH=CN，
∴∠NHC=∠N．
∵∠BCF=90°，
∴BF是圆的直径，
∴∠BCF=90°， 又∵AD⊥BC
∴AD∥CF，
∴ = ，

∴∠FAD=∠N
又∵∴∠NHC=∠N，
∴∠FAD=∠NHC
∴AF∥CH， 又∵AH∥CF，
∴四边形AHCF为平行四边形．
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1.D
解析:
解：如图，∵∠AOC=160°，
∴∠ABC= ∠AOC= ×160°=80°，
∵∠ABC+∠AB′C=180°，
∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．
∴∠ABC的度数是：80°或100°． 故选D．
2. π
解析:
解：连结OA、OB，作OH⊥AB于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOB=120°，
∵OH⊥AB，
∴∠AOH=60°，AH=BH= AB= ×2 = ，
∴OH= AH=1，
∴OA=2，
∴AB所对弧ACB的长度= = π． 故答案为 π．

3.
（1） 证明：
连接OA、AD，如图，


∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
又∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°， 又PA=AC，OA=OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠P=30°，∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠PAD=30°，
∴∠PAD+∠DAO=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA为⊙O的切线；
（2） 解：由（1）可知△APO为直角三角形，且∠P=30°，
∴PO=2AO，且PA= ，
由勾股定理可得PO2=AO2+PA2，可解得AO=1，
∴CD=2，即⊙O的直径为2．




限时考场模拟
1.∠ABC=90°
解析:当△ABC为直角三角形时,即∠ABC=90°时,BC与圆相切,∵AB是☉O的直径,∠ ABC=90°,∴BC是☉O的切线(经过半径外端,与半径垂直的直线是圆的切线).
2.D
解析:
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°．
故选D． 3.60°
解析:连接OA,则OA⊥MN,由于∠MAB=30°,所以∠OAB=90°-30°=60°,而OA=OB,所以∠B=∠OAB=60°. 4.D
解析:
解：∵连接OA，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OA2+OD2=AD2，即2OA2=42，解得OA=2 （cm）． 故选D．


5.C
解析:∵AB是☉O的切线,
∴∠OBA=90°,
∴∠O=90°-∠BAO=90°-40°=50°, 又∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=(180°-50°)=65°. 6.D
解析:由于6.4>6,所以在半径为6m的圆外,6.4<7,所以在半径为7m的圆内,故在区域④.
7.(1)设AC与OP相交于点H.
∵AB是直径,∴AC⊥BC,∠BAC+∠B=90°.
∵OP∥BC,∴OP⊥AC,∠AOP=∠B.
∵∠P=∠BAC,
∴∠P+∠AOP=90°,于是∠OAP=90°,
∴PA为☉O的切线. (2)∵OP⊥AC,∴AC=2AH,
在直角三角形PAO中,
AP= = = ,
由面积法可知:AH= = =4,
∴AC =2AH=8.
课后作业
1.相离
解析:解：作PA⊥直线y=x于A，如图，
∵直线y=x与y轴的夹角为45°，
∴△OPA为等腰直角三角形，
∴PA= OP= ×6=3 ，
∵3 = ＞4，
∴直线y=x与⊙P相离． 故答案为相离．











2.A
3.C
4.A

5.
（1） 如图，连接OD.
∵ OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴ DO∥MN.
∵ DE⊥MN，∴∠ODE＝∠DEA ＝90°， 即OD⊥DE，
∴ DE是⊙O的切线.
（2） 解：如图，连接CD.
∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴ AD＝＝ ＝3 .
∵ AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠AED ＝90°.
∵∠CAD＝∠DAE ，∴△ACD∽△ADE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ AC＝15，∴ OA＝AC＝7.5.
∴⊙O的半径是7.5 cm. 6.
证法一：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA；
∵AD⊥CD，
∴∠DAC+∠ACD=90°；
又∠OAC=∠CAD，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
即OC⊥CD；
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．

证法二：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠OAC=∠DAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD； 又∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD；
又∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．


7.
解：（1）∵直线y=﹣2x﹣10与x轴交于点A，
∴y=0，则﹣2x﹣10=0， 解得：x=﹣5，
∴A点的坐标为：（﹣5，0）；

∴
解得：
，
（2） ∵直线y=﹣2x﹣10与x轴交于点A，直线y=﹣ x交于点B，
，




∴B点坐标为；（﹣8，6），
∴OB= =10；

（3） 连接CQ，CP，
∵B点坐标为；（﹣8，6），
∴可求得：BO=10，
∵点C在线段AB上，⊙C与x轴相切于点P，与OB切于点Q，
∴CP⊥x轴，CQ⊥BO，PC=CQ，
∴S△BAO= ×6×5=S△BCO+S△AOC= （PC×5+CQ×BO），
∴30=PC（5+10）， 解得：PC=2，
∴C点纵坐标为：2，
∴P点横坐标为：2=﹣2x﹣10， 解得：x=﹣6，
∴C点坐标为：（﹣6，2）．
8.
证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）如图2，连结DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE与△HFE中，

，

∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF．
9.
证明：（1）如图1，连接BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BIE=∠1+∠3，
∠IBE=∠5+∠4， 而∠5=∠1=∠2，
∴∠BIE=∠IBE，
∴IE=BE．
（2）四边形BECI是菱形， 如图2∵∠BED=∠CED=60°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴BE=CE，
∵I是△ABC的内心，
∴∠4= ∠ABC=30°，∠ICD=30°，
∴∠4=∠ICD，

∴BI=IC，
由（1）证得IE=BE，
∴BE=CE=BI=IC，
∴四边形BECI是菱形．
10.
解：（1）∵O的坐标为（0，0），抛物线的对称轴为x=2，
∴点M的坐标为（4，0）．
∵抛物线经过点O，
∴c=0．
将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式得：16a+4b=0． 整理得：4a+b=0．
（2） DE与圆A相切． 理由：如图1所示：











∵四边形ABCD为菱形，
∴DN=NB，DN⊥AN．
∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°，
∴四边形OAND为矩形．
∴OA=DN=2．
∴DB=OM=4．
∵OM=AD=AB，
∴AD=AB=DB．
∵AE为圆A的半径，
∴AE=EB=2．
∵AD=DB，AE=EB．

∴AE⊥DE．
∴DE与圆A相切．
（3） 如图2所示．
设点P的坐标为（2，m）．
∵OM为圆A的直径，
∴∠OEM=90°．
∵AE=2，OA=2，
∴点E的坐标为（﹣2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a．
∴m=﹣4a．
∵∠OPM为锐角，
∴点P在点E的下方．
∴﹣4a＜﹣2． 解得：a＞ ．
在Rt△AOD中，OD= =2 ．
∴AC=4 ．
∵点P在菱形的内部，
∴点P在点C的上方．
∴﹣4a＞﹣4 ． 解得：a＜ ．
∴a的取值范围是 ．
11.
解：（1）如图1，
（2） 如图2，连接BD、EG、EH，

∵EF∥AC，
∴DE=DF，

又∵BD平分∠EDF，
∴BD为EF的中垂线，
∴BE=BF，BD平分∠EBF， 又∵∠EBF=45°=∠DBC，
∴∠EBD=∠DBF=∠HBG=22.5°，
∴∠EBG=67.5°，
又∵∠EGB=90°，
∴∠BEG=22.5°=∠HBG，
∴ = ，
（3） 如图3，将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP，过点B作BQ⊥EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，








在△BPE与△BFE中，

，

∴△BPE≌△BFE（SAS），
∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，
由∠AEB=∠BEQ可知， 在△AEB和△QEB中，

，

∴△AEB≌△QEB（AAS），
∴BQ=AB=2，
由 PE=EF 可 知 ， C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，
设AE=a，DF=b，则DE=2﹣a，BE= ，
∵O为BE中点，且MN∥AD，
∴ON= = ，
∴OM=2﹣ ， 又BE=2OM，
∴ =4﹣a，解得a= ，
∴ED= ，
又∵C△EFD=4，DF=b，
∴EF=4﹣b﹣ = ﹣b，
在RT△EDF中，（ ）2+b2=（﹣b）2，解得b= ，
∴EF= ﹣ = ，
∴S△BEF= × ×2= ．