高中数学高考考点29 三角函数的图象与性质（解析版）

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考点29 三角函数的图象与性质

【命题解读】
三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.
【基础知识回顾】
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定
义
域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(k∈Z)上是递增函数　　　　
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
(k∈Z)
对称中心是
(k∈Z)


1、函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以
故函数的定义域为 ，选D。
2、下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
【答案】B　
【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.
3、（安徽省淮南市2019届高三模拟） 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，
y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，所以ω＝。
4、下列关于函数的说法正确的是　　
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于成中心对称
D．图象关于直线成轴对称
【答案】．
【解析】令，解得，，显然满足上述关系式，故正确；易知该函数的最小正周期为，故正确；
令，解得，，任取值不能得到，故错误；
正切函数曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故错误．
5、 函数y＝cos的单调减区间为______________．
【答案】：(k∈Z)
【解析】：由y＝cos＝cos得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
6、 函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________________．
【答案】：，k∈Z
【解析】：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z．　　

考向一　三角函数的定义域
例1　(1)函数y＝的定义域为
(2)函数y＝＋lg(2sinx－1)的定义域为
．
【答案】（1）．（2）(k∈Z)

【解析】　(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出上y＝sinx和y＝cosx的图象，

如图所示．在内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，∴原函数的定义域为.

(2)由题意得根据图象解得＋2kπ≤x＜＋2kπ，
即定义域为(k∈Z)．
变式1、 (1)函数y＝的定义域为________.
(2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
【答案】（(1)(2)
【解析】　(1)要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为.
(2)函数有意义，则即
解得
所以2kπ