高中数学高考考点34 平面向量的概念与线性运算（解析版）

这是一份高中数学高考考点34 平面向量的概念与线性运算（解析版），共16页。
【命题解读】
平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题
【基础知识回顾】
1. 向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2. 向量的线性运算
(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．
(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ1，
因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，所以meq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
即eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up6(→))，
又知A，B，D三点共线，所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故选B.
3、【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，所以.
故选A.
4、.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C.若(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形
D.若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＞0，则△ABC为锐角三角形
【答案】 BC
【解析】 由向量的运算法则知eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))；eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，故A错，B对；
∵(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))2＝eq \(AC,\s\up6(→))2，即AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，故C对；
∵eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＞0，
∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．
故选BC.
5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵，∴，
∴，
又F为AE的中点，∴，B对；
∴，C对；
∴，D错；
故选：ABC．
6、【江苏卷】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【答案】
【解析】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
7、在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \f(1,|\(BA,\s\up6(→))|)·eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,|\(BC,\s\up6(→))|)·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),|\(BD,\s\up6(→))|)·eq \(BD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的面积为________.
【答案】 eq \r(3)
【解析】 由|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(3) \(BD,\s\up6(→)),|B\(D,\s\up6(→))|)可知四边形ABCD为菱形，则有|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＋\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)\(BD,\s\up6(→)),|\(BD,\s\up6(→))|)))，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＋\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)))＝eq \r(3)，两边平方，
得1＋2eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)·eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＋1＝3，eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)．
eq \f(|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|cs〈\(BA,\s\up6(→))，\(BC,\s\up6(→))〉,|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，所以cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝60°．
S＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|sin 60°＝eq \r(2)×eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)
8、已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解析】 ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ．
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．