高中数学高考考点31 正弦定理、余弦定理（原卷版）

这是一份高中数学高考考点31 正弦定理、余弦定理（原卷版），共8页。

【命题解读】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等
【基础知识回顾】
1．正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
1、 在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2、 已知△ABC，a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，则c等于( )
A．2eq \r(5) B.eq \r(5)
C．2eq \r(5)或eq \r(5) D．均不正确
3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．2
4、 在△ABC中，cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4eq \r(2) B.eq \r(30) C.eq \r(29) D．2eq \r(5)
5、 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
6、在△ABC中，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
7、 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
8、 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \f(csA－3csC,csB)＝eq \f(3c－a,b)，则eq \f(sinC,sinA)的值为__________．
考向一 运用正余弦定理解三角形
例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，若 ，则=（ ）
A．1B．2 C．3D．4
变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在中，如果，那么________．
变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．
变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状
例2、（多选题）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
变式1、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
变式2、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积
例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcsC＋ccsB＝2acsA．
(1) 求角A的大小；
(2) 若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \r(3)，求△ABC的面积．
变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝eq \r(3)，cs2A－cs2B＝eq \r(3)sin Acs A－eq \r(3)sin Bcs B．
(1) 求角C的大小；
(2) 若sin A＝eq \f(4,5)，求△ABC的面积．
变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，分别为内角的对边，若，且，则__________．
变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是______．
方法总结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
考向三 结构不良题型
例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角的对边分别为，，， .
求的面积.
变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
1、【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=
A．B．
C．D．
2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在中，，，，则
A．B．
C． D．
3、【2018年高考全国Ⅲ理数】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A．B．
C．D．
4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
5、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
6、【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）的内角A，B，C的对边分别为，已知.
（I）求B；
（II）若的周长为的面积.
8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
9、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
正弦定
理的常
见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A).
余弦定理的常见变形
(1)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
(2)cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；
(3)cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).