高中数学高考考点40 等差数列及其前n项和-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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考点40等差数列及其前n项和【命题解读】   等差数列是高考必考知识点，掌握等差数列的概念及通项公式，以及等差中项的概念和等差数列的图象，并能根据其性质灵活应用；从近几年的考题来看，主要通过选择题和填空题考查等差数列的基础知识，通过解答题考查数列的通项和求和问题；在高考中多通过解答题的形式考查构造等差数列解决一些数列的通项和求和问题，属于中高难度题。【命题预测】预计2021年的高考等差数列及其前n项和的考查还是以等差数列通项公式，前n项和为重点，选择、填空以基础为主，解答题难度以中高难度为主。【复习建议】  1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及前n项和公式；2.掌握等差数列的公式及性质的运用。考向一　等差数列的概念及公式1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。an - an-1=d(n≥2,n∈N*)。2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列，A叫做数列的等差中项。2A= a+b3.等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}，通项公式为an= a1+（n-1）d4.等差数列的前n项和公式Sn == n a1 +d 1. 【2020全国月考（理）】已知等差数列的首项是2，公差为，且中有一项是14，则的取值的个数为（    ）A．3 B．4 C．6 D．7【答案】C【解析】等差数列的首项是2，公差为，有一项是14，∴设第n项为14，有，即，又知：，，而∴的取值有，故选：C2. 【2019湖南师大附中期末】已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则前10项的和为（    ）A．10 B．8 C．6 D．-8【答案】A【解析】由题意可得a32＝a1a4，
即(a1+4)2＝a1(a1+6)，
解之可得a1=-8，
故 故选A．考向二  等差数列的性质及求解1.已知{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和.（1）若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有am+an= ap+aq. （2）数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列. 2. 等差数列前n项和与二次函数的联系，求前n项和最值1. 【2019广东湛江期末】已知数列的通项公式，则前项和的最小值为(    )A．－784 B．－368 C．－389 D．－392【答案】D【解析】令，求得，即数列从第项开始为正数，前项为负数，故数列的前项的和最小，，，故选D.2. 【2020四川省珙县中学月考】记为等差数列的前项和，若，则（     ）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】D【解析】根据等差数列的性质可知，，故选D.3. 【2020吉林市第二中学月考】设是等差数列的前n项和，若则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】在等差数列{an}中，由，得 故选：A 题组一（真题在线）1. 【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则A．  B． C．  D．2. 【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.3. 【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．4. 【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.5. 【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块6. 【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项                                              B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项7. 【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是A．    B． C．   D．8. 【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中．（i）求数列的通项公式；（ii）求．题组二1. 【2020山西运城月考】设为等差数列，，为其前项和，若，则公差（    ）.A．2 B． C． D．32. 【2020湖南月考】已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（  ）A．2 B．4 C．16 D．83. 【2020苏州湾外国语学校期中】在等差数列中，，则数列的前9项和等于　　A．126 B．130 C．147 D．2104. 【2018辽宁期中（理）】已知在等差数列中，则项数为A． B． C． D．5. 【2020福建厦门双十中学期中】在等差数列中，，则此数列前项的和是（　　）．A． B． C． D．6. 【2020全国月考】等差数列的首项，设其前项和为，且，则（    ）A． B． C． D．的最大值是或者 7. 【2020山东烟台三中高二期中】已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（    ）.A． B．最小 C． D．8. 【2020辽宁月考】已知等差数列的公差，且.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，，求数列的前项的和.9. 【2020浙江开学考试】设数列的前n项和为，，，，记.（1）求证：为等差数列，并求；（2）若，记数列的前n项和为，求.10. 【2020四川省珙县中学月考】在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.题组一1.A【解析】由题知，，解得，∴，,故选A．2. 4【解析】设等差数列{an}的公差为d,因，所以，即，所以．3.   0，.【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.4.  16【解析】由题意可得：，解得：，则.5. C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C6.  B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B．7. D【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D.8. 见解析【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．所以，的通项公式为的通项公式为．（Ⅱ）（i）．所以，数列的通项公式为．（ii）                                           ．题组二1.C【解析】由题意，设等差数列的公差为，因为，即，即，又由，可得，解得.故选：C.2.D【解析】等比数列{an}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，∴b7＝4，数列{bn}是等差数列，则b5+b9＝2b7＝8．故选D．3.A【解析】在等差数列中，，，解得，数列的前9项和：．故选A．4. D【解析】由等差数列的性质可得S918，解得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，而Sn16n＝240，解得n＝15，故选D．5.B【解析】由等差数列的性质可得：，，代入已知可得，即，故数列的前项之和．故选．6.BD【解析】，因为所以，，最大，故选：．7.A CD【解析】因为，所以，所以，即，故正确；当时，无最小值，故错误；因为，所以，故正确；因为，故正确.故选：ACD.8. 见解析【解析】（1）由，得，又，所以，所以.（2）设公比为，由题意，，即，所以，于是，故.9. 见解析【解析】（1）当时，，解得，当时，由，得：，两式相减得：，化简得：，，即，又，，，是以2为首项2为公差的等差数列. （2）,,,两式相减得： 10. 见解析【解析】设等差数列的公差为，（1）∵，，所以，则， （2）由（1）的，所以.