高中数学高考考点43 导数及几何意义、导数的运算-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

考点43导数及几何意义、导数的运算

【命题解读】

  导数及几何意义、导数的运算是高考中经常出现的知识点，在高考中常以选择或者填空的形式出现，整体难度以中档为主，偶尔在解答题中出现导数的几何意义，求解切线，重点还是考查计算能力。

【命题预测】

预计2021年的高考导数的几何意义还是必考知识点，复习中要注重知识点的相互联系，在导数的运算方面要加强计算能力。

【复习建议】 

1.掌握导数的概念及几何意义；

2.会计算函数的导数以及运用导数求切线方程。

考向一　导数的概念及几何意义

1.导数的概念

(1)在点x0处的导数

=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记为f'(x0)或y',即f'(x0)== 

(2) 区间(a,b)上的导数 

当x∈(a,b)时,f'(x)==叫作函数在区间(a,b)内的导数 

2.导数的几何意义

函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的斜率.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).

1.【2020全国高三课时练习（理）】函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

2. 【2020山东高三其他】已知函数的图象在点处的切线经过坐标原点，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，切点为，

，，

所以，函数的图象在点处的切线方程为，由于该直线过原点，

则，解得，故选A.

考向二  导数的运算

1.常用导数公式

（1） C'=0(C为常数)

（2）(xn)'= nxn-1 (n∈Z) 

（3） (sin x)'= cos x   (cos x)'= -sin x

（4）(ax)'= axln a (a>0,且a≠1) 

（5） (logax)'= (a>0,且a≠1) 

（6） (ex)'=ex

（7） (ln x)'=,(ln|x|)'=

2.导数的运算法则

[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x)

    [f(x)·g(x)]'= f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

['=

复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x= y'u·u'x这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积” 

1. 【2020全国高三课时练习（理）】已知函数的导函数为，且满足，则等于（）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】，所以，得，故选B.

2. 【2020河南高三其他（理）】已知函数，则______.

【答案】1

【解析】由，得，则，解得.

故答案为：1.

题组一（真题在线）

1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为

A． B．

C． D．

2. 【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为

A．y=2x+1  B．y=2x+ 

C．y=x+1  D．y=x+

3. 【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

4. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．   B．a=e，b=1

C．   D．，

5. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为___________．

6. 【2020年高考北京】已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

题组二

1. 【2020陕西西安高三二模（理）】已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

2. 【2020全国高三课时练习（理）】若曲线与曲线在交点处有公切线，则（  ）

A． B．0

C．2 D．1

3. 【2020邢台市第二中学高二期末】已知函数在点处的切线方程为，则（    ）

A． B． C． D．

4. 【2020陕西西安高三三模】函数的图象在点处的切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

5. 【2020山东师范大学附中高二月考】已知函数的导函数为，且满足，则等于（    ）

A． B． C． D．1

6. 【2020全国高三课时练习（理）】函数在点(0，f(0))处的切线方程是___________.

 7. 【2020福建高三其他（理）】设曲线在处的切线与直线平行，则实数a的值为_______.

8. 【2020山东莱阳一中高三月考】已知，则_____．

9. 【2020河南开封高三二模（理）】已知函数．则函数在处的切线方程为___________．

10. 【2019山东聊城】如图，是可导函数,直线l是曲线在处的切线，令，则___________.

题组一

1.B

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B．

2.D

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D．

3. ①②③

【解析】表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③

4. D

【解析】∵

∴切线的斜率，，

将代入，得.

故选D．

5.

【解析】

所以切线的斜率，

则曲线在点处的切线方程为，即．

6.  见解析

【解析】（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程：，即.

（Ⅱ）显然，

因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

题组二

1.D

【解析】

，

将代入得，故选D．

2.D

【解析】由曲线，得，则，

由曲线，得，则，

因为曲线与曲线在交点出有公切线，

所以，解得，

又由，即交点为，

将代入曲线，得，所以，故选D．

3.D

【解析】切点在切线上，∴，得，

又切线斜率，∴.

故选：D

4.B

【解析】，则，则倾斜角为．

故选：B．

5.B

【解析】,

,

令，

则，

解得，

，

，

故选：B

6.

【解析】∵，

∴, f(0)＝0,

∴

∴函数f(x)的图像在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.

故答案为：

7. C

【解析】 ，所以的虚部为4.

故选：C．

8. 2

【解析】因为

所以

所以

又因为曲线在处的切线与直线平行，

所以

故答案为：

9.

【解析】

，

，

故切线方程为：，即．

故答案为：．

10.

【解析】由图像可知，，切线过、，

，求导

故答案为：