高中数学高考考点46 分类加法计数原理和分步乘法计数原理-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

考点46分类加法计数原理和分步乘法计数原理

【命题解读】

  计数原理是高考常考知识点之一，主要是与排列组合相联系出题，在应用计数原理计算时要分清分类与分步，以及两者的结合出题，题目主要以选择或者填空为主，难度不是很大.

【命题预测】

预计2021年的高考计数原理的考查变化不是很大，主要还是集中在排列组合方面，难度适中。

【复习建议】 

1.掌握两种计数原理；

2.会运用两种计数原理的理论求解题目。

考向一　分类加法计数原理应用

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法 .

完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法 .

1. 【2020浙江高三月考】某学校打算从高三（1）班的5位男生中选出一部分(不可以不选)，再从高三（2）班的4位女生中选出一部分(不可以不选)组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方法有（    ）

A．30种 B．96种 C．120种 D．125种

【答案】D

【解析】依题意可以选择1名男生，一名女生，选择方法共有种；

可以选择2名男生，2名女生，选择方法共有种；

可以选择3名男生，3名女生，选择方法共有种；

可以选择4名男生，4名女生，选择方法共有种；

由分类加法计数原理可得，选择方法共有种，

故选：D.

2. 【2020东台创新高级中学高二月考】某同学有同样的笔记本3本，同样的画册2本，从中取出4本赠送4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有（    ）

A．8种 B．10种 C．18种 D．16种

【答案】B

【解析】从3本同样的笔记本，2本同样的画册中选择4本赠送朋友，

若选2本笔记本和2本画册赠送朋友，则有种赠送方法；

若选3本笔记本和1本画册赠送朋友，则有种赠送方法；

因此，共有种赠送方法.

故选：B.

考向二  分步乘法计数原理应用

1.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法 .

完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1×m2×…×mn种不同的方法 .

2.两种计数原理的区别

分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.

1. 【2020全国高二单元测试】将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第个数为（），若，，，，则不同的排列方法种数为（    ）

A．18 B．30 C．36 D．48

【答案】B

【解析】分两步：（1）先排 时，有 种； 时，有 种； 时，有 种；共有 种；（2）再排共有 种，故不同的排列方法为 ，故选B.

2. 【2020湖南永州市高三月考】某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（    ）

A．320种 B．360种 C．370种 D．390种

【答案】B

【解析】由题意分步进行安排：

第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有种排法；

第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法.

故不同的安排方法共有种.

故选：B.

3. 【2020安徽省六安中学高三开学考试（理）】某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（    ）种选派方法

A．160 B．80 C．40 D．20

【答案】C

【解析】先给一所学校派3名教师和1名中层干部，则有种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，只有1种方法，∴共有种选派方法，

故选：C.

题组一（真题及模拟）

1. 【2019南宁市银海三美学校高二月考（理）】某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（    ）

A．32种 B．9种 C．12种 D．20种

2. 【2020福建福州市高二期中】第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播(如下表所示)，张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天(如第一场19日观看直播则20日不能观看直播)的概率是（    ）

3. 【2020河北衡水市高三月考】某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为（    ）

A．19 B．38 C．55 D．65

4. 【2020江苏宿迁中学高三期中】为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（    ）

A．48种 B．36种 C．24种 D．12种

5. 【2020贵溪市实验中学高三月考】、、、、五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为（    ）

A．120 B．324 C．720 D．1280

6. 【2020山东高三月考】高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有（    ）

A．20种 B．30种 C．90种 D．120种

 7. 【2020四川省新津中学高三开学考试（理）】如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）

8. 【2020长沙麓山国际实验学校高三月考】2021年义乌国际马拉松赛，我校要从甲乙丙丁等10人中挑选3人参加比赛，其中甲乙丙丁4人中至少有1人参加且甲乙不同时参加，丙丁也不同时参加，则不同的报名方案有_______.

9. 【2020山东高三月考】要将甲、乙、丙、丁4名同学分到，，三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为______.（用数字作答）

10. 【2020浙江高三月考】某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班，要求每班至少含一名民警和一名医务人员，且至少有一名女性，每人值一班.现有民警4人（4男），医务人员6人（5女1男），其中民警甲不排上午，男医生不排上午、下午，则不同的安排方法有______种.

11. 【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．

题组一

1.C【解析】从8名男生4名女生选取一名当组长，

是男生的选法有8种，是女生选法的有4种，共有12种.

故选：C.

2.B【解析】从场直播中任意选取三场有种，

三场任意两场直播中间至少间隔一天有四类：

选取日，有种，

选取日，有种，

选取日，有1种，

选取日，有1种，

所以选取的三场任意两场直播中间至少间隔一天的有种，

所以概率为，

故选：B

3.D【解析】至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，

所以不同选派方案种数为．

故选：D

4. B【解析】由题意可知，分三步完成：

第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；

第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；

第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，

根据分步计数原理，共有不同的选取方法，

故选：B

5.D

【解析】根据分步计数原理，可得：

第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情形；

第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

第三天除了第二天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

第四天除了第三天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

第五天除了第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；

所以所有的排法总数为：种.

故选：D.

6.B

【解析】由题意，从5人中选出1人擦黑板，有种选法，

从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，有种选法，

从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，有种选法，

由分步计数原理，可得不同的安排方法有种安排方法.

故选：B.

7. 260

【解析】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种，

当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种，

所以不同的种植方案共有种，

故答案为：260

8. 84

【解析】根据题意，分3种情况讨论：

①，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有种报名方案，

②，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有种报名方案，

③，甲乙丙丁4人中，从甲乙、丙丁中各选1人，需要在其他6人中选出1人，

有种报名方案；

故有种报名方案.

故答案为：84

9. 12

【解析】由题意可分两类，

第一类，甲与另一人一同分到，有种；

第二类，甲单独在，有种，共12种

故答案为：12

10.

【解析】因为民警共4人，每班至少一名民警，且民警甲不排上午，

所以民警的安排方法有种；

因为有5名女医生，每组至少需要一名女性，所以女医生的安排方法有种；

男医生的安排方法有两种，

因此总的安排方法有：种.

11.

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，

先取2名同学看作一组，选法有：.

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，

故答案为：.