高中数学高考课时跟踪检测（十二） 函数与方程 作业

课时跟踪检测（十二）  函数与方程

一、综合练——练思维敏锐度

1．求下列函数的零点，可以用二分法的是(　　)

A．f(x)＝x4

B．f(x)＝tan x＋2

C．f(x)＝cos x－1

D．f(x)＝|2x－3|

解析：选B　∵二分法只适用于求“变号零点”，∴选B.

2．函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：选B　法一：定理法

∵f(0)＝－1，f(1)＝，

∴f(0)f(1)<0，故函数f(x)在(0,1)上至少存在一个零点，又∵f(x)为增函数，∴f(x)的零点个数为1.

法二：图象法

令f(x)＝0，得x＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝x的图象(图略)，可得交点只有一个，∴函数f(x)的零点只有1个，故选B.

3．设函数y＝log2x－1与y＝22－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

解析：选C　令函数f(x)＝log2x－1－22－x，则f(2)＝－1，f(3)＝log23－＝log23－log2()>0，因为f(2)f(3)<0，所以函数f(x)在(2,3)上必有零点．又易知函数f(x)为增函数，所以f(x)在(2,3)上有且只有一个零点，所以x0∈(2,3)，故选C.

4．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)

A．x1<x2<x3  B．x2<x1<x3

C．x2<x3<x1  D．x3<x1<x2

解析：选C　作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知选C.

5．(多选)已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)<0，那么下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)可能有三个零点  B．f(3)·f(－4)≥0

C．f(－4)<f(6)  D．f(0)<f(－6)

解析：选AC　因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)<0，f(6)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确．故选A、C.

6．(多选)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列说法正确的有(　　)

A．方程f(g(x))＝0有两正数解和一负数解

B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解

C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解

D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解

解析：选ABCD　设f(x)的零点分别为x1，x2，x3，则x1＜x2＜0＜x3，设g(x)的零点为x4，x4＞0.f(g(x))＝0，即g(x)＝x1，有一个解为正数，g(x)＝x2，有一个解为正数，g(x)＝x3，有一个解为负数，故A正确；g(f(x))＝0，则f(x)＝x4，根据图象知：函数最多有三个交点，故B正确；f(f(x))＝0，即f(x)＝x1，可能为一个解，f(x)＝x2，可能为三个解，f(x)＝x3，可能为一个解，故C正确；g(g(x))＝0，故g(x)＝x4，方程有且仅有一个解，故D正确．

7．对于实数a，b定义运算“D○×”：aD○×b＝设f(x)＝(2x－3)D○×(x－3)，且关于x的方程f(x)＝k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为(　　)

A．(0,3)  B．(－1,0)

C．(－∞，0)  D．(－3,0)

解析：选D　∵aD○×b＝

∴f(x)＝(2x－3)D○×(x－3)＝

其图象如图所示．

不妨设x1<x2<x3，由图可得x1＝－k，x2x3＝k，

故x1x2x3＝－k2，k∈(0,3)，

∴x1x2x3∈(－3,0)．故选D.

8．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：∵函数f(x)的图象为直线，

由题意可得f(－1)f(1)<0，

∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得<a<1，

∴实数a的取值范围是.

答案：

9．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是____________________．

解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3，

∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根．

由根与系数的关系知∴

∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，

即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，

解集为.

答案：

10．函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的零点个数为________；所有零点之和为________．

解析：可转化为两个函数y＝|x－1|与y＝－2cos πx在[－4,6]上的交点的个数，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(如图)，易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，共10个交点，所有零点之和为5×2＝10.

答案：10　10

11．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t(t<1)，则原方程化为g(t)＝a有4个不同的实数根，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，如图，画出函数g(t)的图象，结合图象可知，1≤a<，即a的取值范围是.

12．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m 的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围．

解：在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．分两种情形：

(1)当0<m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．

(2)当m>1时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．

综上所述，m的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．

二、自选练——练高考区分度

1．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有(　　)

A．多于4个  B．4个

C．3个  D．2个

解析：选B　因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．

显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.

2．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)

A．[2,4]  B．

C.  D．[2,3]

解析：选D　易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，

设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，

根据定义，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2，作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，

因为g(－1)＝4，要使函数g(x)的零点在区间[0,2]内，则即解得2≤a≤3.

3．已知f(x)＝有且只有1个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：当a>0时，函数f(x)＝ax－3(x>0)必有一个零点，又因为－<0，故a2＋2＋a>0，解得a>1；当a＝0时，f(x)＝恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f(x)＝ax－3<0，若x≤0，则f(x)＝ax2＋2x＋a，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x)无零点．

答案：{0}∪(1，＋∞)

4．已知函数f(x)＝(2－a)·(x－1)－2ln x．若函数f(x)在上无零点，求a的最小值．

解：法一：∵f(x)<0在上不可能恒成立，要使函数f(x)在上无零点，只要对任意的x∈，f(x)>0恒成立，即对任意的x∈，a>2－恒成立．

令l(x)＝2－，x∈，则l′(x)＝，

令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，则m′(x)＝－＋＝<0，故m(x)在上为减函数，于是m(x)>m＝2－2ln 2>0，从而l′(x)>0，于是l(x)在上为增函数，∴l(x)<l＝2－4ln 2.

故要使a>2－恒成立，只要a∈[2－4ln 2，＋∞)．

则a的最小值为2－4ln 2.

法二：令g(x)＝(2－a)(x－1)，h(x)＝2ln x，

∵f(x)＝g(x)－h(x)在上无零点，

∴g(x)与h(x)的图象在上无交点．

显然，g(x)，h(x)的图象都过A(1,0)，

如图，直线AB的斜率k＝＝4ln 2.

∴当g(x)的斜率2－a≤4ln 2时无交点，

∴a≥2－4ln 2.

∴a的最小值为2－4ln 2.