高中数学高考课时跟踪检测（四十二） 圆的方程、直线与圆的位置关系 作业

课时跟踪检测（四十二）  圆的方程、直线与圆的位置关系

一、综合练——练思维敏锐度

1．(2021·江苏部分学校调研)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)

A．(x－)2＋(y－1)2＝4　 B．(x－)2＋(y－)2＝4

C．x2＋(y－2)2＝4  D．(x－1)2＋(y－)2＝4

解析：选D　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.

2．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是(　　)

A．3x－y－5＝0  B．3x＋y－7＝0

C．x＋3y－5＝0  D．x－3y＋5＝0

解析：选A　∵过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，

∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线，

∴其方程为：＝，

整理，得3x－y－5＝0.故选A.

3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为(　　)

A．5x＋12y＋20＝0

B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0

C．5x－12y＋20＝0

D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0

解析：选B　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，

由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.

当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝－.

此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.

4．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为(　　)

A．1  B．±1

C.  D．±

解析：选D　根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r＝，直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝，则有＝，解得a＝±.

5．已知圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝x＋b的最短距离为，则b的值为(　　)

A．－2或2  B．2或4＋2

C．－2或4＋2  D．－4－2或2

解析：选D　由圆(x－2)2＋y2＝1，

可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝1，

设圆心(2,0)到直线y＝x＋b的距离为d，

则d＝，因为圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝x＋b的最短距离为，所以d－r＝，即－1＝，解得b＝2或b＝－4－2，故选D.

6．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)

A．相交  B．相切

C．相离  D．不确定

解析：选AC　由题意知C(－2,1)，圆C的半径为，

则＝，解得k＝±1，

则直线l的方程为y＝±x＋1.

D(2,0)，圆D的半径为r＝，

k＝1时，D到直线l的距离为＝>，相离；

k＝－1时，D到直线l的距离为＝<，相交，故选A、C.

7．已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，则实数a的值等于(　　)

A．2或10  B．4或8

C．6±2  D．6±2

解析：选B　由∠MPN＝可得∠MCN＝2∠MPN＝.

在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝，

可得点C到直线MN，即直线l：x－y－a＝0的距离为2sin＝1.所以＝1，解得a＝4或8.故选B.

8．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.

解析：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝r，又r＝|AC|＝，所以＝，解得m＝－2，所以r＝.

答案：－2　

9．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋6＝0，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，则直线AB一定过定点________．

解析：设点P(x0，y0)，则x0－y0＋6＝0.

以CP为直径的圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，

又圆C：x2＋y2＝4，作差可得直线AB的方程为xx0＋yy0＝4，将y0＝x0＋6，代入可得(x＋y)x0＋6y－4＝0，

满足⇒

故直线AB过定点.

答案：

10．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.

解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝＝3.

答案：3

11．已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．

(1)写出圆C的标准方程；

(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．

解：(1)由题意知，圆C的半径r＝＝，

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.

(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，则＝，

所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，

故所求切线的方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.

由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.

12．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

(1)证明：坐标原点O在圆M上；

(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．

解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.

由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.

又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.

因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.

故坐标原点O在圆M上．

(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.

故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，

圆M的半径r＝.

由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，

故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，

即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.

由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4.

所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.

当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.

当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.

二、自选练——练高考区分度

1．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为(　　)

A．两圆有两条公切线

B．直线AB的方程为y＝2x＋2

C．线段AB的长为

D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为＋3

解析：选AD　对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；

对于B，因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；

对于C，圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，

则圆心到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝，故C错误；

对于D，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2,1)，半径为1，

所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正确．

2．设过点P的直线l与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8＝5，则＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my－2，由

得y2－y＋13＝0，

则y1＋y2＝，y1y2＝，又8＝5，

所以8(x1＋2，y1)＝5(x2－x1，y2－y1)，

故8y1＝5(y2－y1)，即y2＝y1，代入y1y2＝得：

y＝，故y＝×，

又(y1＋y2)2＝2，

即y＋y＋2y1y2＝×＋＝2，

整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38，

又|AB|＝ ＝

2 ，

当m＝2时，|AB|＝；

当m＝38时，|AB|＝.

综上|AB|＝.故选A.

3.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.

(1)求圆C的方程；

(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．

解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m>0)，则圆C的半径为m，

又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，

解得m＝，

所以圆C的方程为2＋(y－2)2＝.

(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以

则kAN＋kBN＝＋＝＋

＝＝＝0.

综上可知，kAN＋kBN为定值．