小升初数学专项题-第五讲 立体图形应用题通用版

第五讲  立体图形应用题

【基础概念】：在小学阶段学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱、圆锥，与这些图形有关的问题叫作立体图形应用题；有关的公式：长方体：表面积公式：S=（ab+ah+bh）×2，体积公式：V=abh=Sh；正方体：表面积公式：S=6a²，体积公式：V=a³；圆柱：侧面积：S侧=Ch=2πrh=πdh，表面积：S=S侧+2S底，体积：V=S底h；圆锥：体积：V=S底h。   

【典型例题1】：李力爱好手工制作，用一根长48分米的铁丝做了一个长方体框架，使它的长、宽、高的比是5：4：3．在这个长方体框架外面糊了一层彩色的纸，至少需要多少平方分米的彩纸？它的体积是多少立方分米？

【思路分析】：用一根长48分米的铁丝做了一个长方体框架也就是长方体的棱长总和是48分米，首先用棱长总和除以4求出长、宽、高的和，再利用按比例分配的方法分别求出长、宽、高，然后根据长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，体积公式：v=abh，把数据代入公式解答即可。

解答：长：48÷4×

=12×

=5（分米）

宽：48÷4×

=12×

=4（分米）

高：48÷4×

=12×

=3（分米）；

（5×4+5×3+4×3）×2

=（20+15+12）×2

=47×2

=94（平方分米）

5×4×3=60（立方分米）

答：至少需要94平方分米的彩纸，它的体积是60立方分米。

【小结】：解决这类问题要先计算出棱长，再利用表面积公式与体积公式计算。

【巩固练习】

1．用一根长48分米的铁丝做一个长方体框架，长和宽的比是4：1，宽和高长度相等，在这个长方体框架外面糊一层纸，至少需要多少平方分米的纸？这个框架的体积是多少立方分米？

2．用铁丝焊一个长方体框架，长1.8米，宽14分米，高100厘米，至少需要铁丝多少米？焊成的长方体体积是多少？

【典型例题2】：一个圆柱体，底面半径是7厘米，表面积是1406.72平方厘米．这个圆柱的高是多少？

【思路分析】：已知底面半径是7厘米，那么可以求得这个圆柱的底面积和底面周长；这里要求圆柱的高，根据已知条件，需要求得这个圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式可得：侧面积=表面积-2个底面积，再利用圆柱的侧面积公式即可求得这个圆柱的高。

解答：（1406.72-3.14×7²×2）÷（2×3.14×7）

=（1406.72-307.72）÷43.96

=1099÷43.96

=25（厘米）

答：这个圆柱的高是25厘米。

【小结】：解决这类问题要先计算出底面积，再利用表面积减去底面积得到侧面积，最后利用底面积公式计算出高即可。

【巩固练习】

3. 一个圆柱，底面周长是25.12厘米，高是5厘米，这个圆柱体的表面积是多少平方厘米？

4. 一个圆柱体沿底面直径和高切开后，切面是一个边长为6厘米的正方形，这个圆柱体的表面积是多少平方厘米？

答案及解析：

1.【解析】长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，已知棱长总和是48分米，先求出长、宽、高的和，再利用按比例分配分别求出它的长、宽、高；再根据长方体的表面积和体积公式解答即可。

【答案】：（1）长、宽、高的和是：

48÷4=12（分米）

总份数是：

4+1+1=6（份）

12×=8（分米）

12×=2（分米）

表面积是：

（8×2+2×2+2×8）×2

=（16+4+16）×2

=36×2

=72（平方分米）；

答：至少需要72平方分米的纸。

（2）8×2×2=32（立方分米）

答：这个框架的体积是32立方分米。

2. 【解析】（1）铁丝的长度，就是这个长方体的棱长总和，由此利用棱长总和公式即可解答；（2）长方体的体积=长×宽×高，代入数据即可解答。

【答案】14分米=1.4米，100厘米=1米，

所以棱长总和是：（1.8+1.4+1）×4

=4.2×4

=16.8（米）

体积是：1.8×1.4×1=2.52（立方米）

答：至少需要铁丝16.8米，焊成的长方体体积是2.52立方米。

3.【解析】圆柱的侧面积=底面周长×高，由此可求出圆柱的侧面积，再根据底面周长求出圆柱的底面半径，进而求出底面积，最后利用圆柱的表面积公式计算即可。

【答案】：侧面积是：

25.12×5=125.6（平方厘米）

底面半径是：

25.12÷3.14÷2=4（厘米）

表面积是：

3.14×4²×2+125.6

=100.48+125.6

=226.08（平方厘米）

答：这个圆柱的表面积是226.08平方厘米。

4. 【解析】根据题意，圆柱体的底面直径为6厘米，高为6厘米，可利用圆柱体的表面积公式S=侧面积+2个底面圆的面积进行计算即可。

【答案】： 3.14×6×6+3.14×（6÷2）²×2

=113.04+3.14×9×2

=113.04+56.52

=169.56（平方厘米）

答：这个圆柱体的表面积是169.56平方厘米。