北京东城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-08解答题提升题

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北京东城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-08解答题提升题
1．（2022·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点．

(1)如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离____________；
(2)已知点，⊙C的半径为，求⊙C关于轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C 关于轴的最佳射影点的坐标；
(3)直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值．
2．（2022·北京东城·统考一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．
(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；
(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．
3．（2021·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
4．（2021·北京东城·统考一模）已知，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接．点A关于直线BQ的对称点为点C，连接．
（1）如下图，若P为线段AB的中点．

①直接写出的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如下图，若线段CP与BQ交于点D．

①设，求的大小（用含a的式子表示）；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
5．（2020·北京东城·二模）在中，，点D是外一点，点D与点C在直线的异侧，且点不共线，连接．

（1）如图1，当时，画出图形，直接写出之间的数量关系；
（2）当时，利用图2，继续探究之间的数量关系并证明；
（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）
（3）当时，进一步探究之间的数量关系，并用含的等式直接表示出它们之间的关系．
6．（2020·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若满足不等式的x的最大值为3，直接写出实数a的值．
7．（2020·北京东城·统考一模）在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中线弧．

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点．
①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧，直接写出△ABC的中线弧所在圆的半径r的最小值；
②如图2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧的弧长l．
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．
8．（2020·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．
（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；
（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．
9．（2020·北京东城·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．
（1）依题意补全图1；
（2）若DM＝1，求线段EF的长；
（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．

10．（2021·北京东城·统考二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．
（1）已知点A，在点Q1，Q2，Q3中，______是点A的“直角点”；
（2）已知点，，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知点，，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．

11．（2021·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，M，N为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段，使点分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点M，N，P的对应点），线段长度的最小值称为线段MN到正方形的“平移距离”．
（1）如下图，平移线段MN，得到正方形内两条长度为1的线段，则这两条线段的位置关系是_______；若分别为的中点，在点中，连接点P与点_______的线段的长度等于线段MN到正方形的“平移距离”；

（2）如图，已知点，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形的“平移距离”为，求的最小值；

（3）若线段MN的中点P的坐标为，记线段MN到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
12．（2020·北京东城·二模）对于平面直角坐标系内任意一点P，过P点作轴于点M，轴于点N，连接，则称的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．
（1）点的垂点距离分别为________，___________，____________；

（2）点P在以为圆心，半径为3的上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；
（3）点T为直线位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．

参考答案：
1．(1)3
(2)，
(3)

【分析】（1）求得直线的解析式，发现线段上任意一点都是线段关于轴的最佳射影点，进而即可求解；
（2）根据（1）的结论，设直线与相切，切点即为⊙C 关于轴的最佳射影点；
（3）根据题意过点作，则点在为以为直径，的中点为圆心的圆上，根据勾股定理求得的长，进而根据定义结合（1）的结论可得当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值．
（1）
解：∵，，
则直线的解析式为，设线段上任一点的坐标为
则线段关于轴的最佳射影距离
故答案为：3
（2）

由（1）可知，当直线与轴夹角为45度时，即时，直线上的点到轴的最佳射影距离相等，
设直线与相切于点，
，
，
设过的直线且与平行的直线为，
则，
即，
，
根据题意求最大值，则的切线在上方，
过点作轴于点，过点作，如图，
则，
为向左平移1个单位，再向上平移一个单位，
即的切线为，
由向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到，
⊙C关于轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），

（3）
根据题意过点作，则点在为以为直径，的中点为圆心的圆上，
根据勾股定理求得，
由（2）可知当过点的切线与的夹角为45度时，满足定义，
即当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值

【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，切线的性质，90度角所对的弦是直径，勾股定理求两点坐标距离，理解新定义并从（1）得到结论是解题的关键．
2．(1)C1、C3
(2)1≤b3
(3)≤d≤

【分析】（1）根据“友好点”的定义逐个判断即可；
（2）分两种情况讨论，直线PQ在点C上方或下方．过B作PQ的垂线，垂足为B，交x轴于H，根据题目中的定义知：BQ或BP的长度要大于或等于BC的长度，求解即可；
（3）首先分析得到E点的运动范围，作出图形知OE≥2，当EH平分∠FEO时，其中H（2，0），是其最大临界值，根据勾股定理求出最大值为，即得结论．
（1）
解：如图所示，

由题意知三角形OC1M为等腰直角三角形，C1符合题意；
过C2作C2A⊥OM于A，则AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合题意；
过C3作C3B⊥OM于B，则C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合题意；
故答案为：C1、C3．
（2）
解：分两种情况讨论，当直线PQ在C点上方时，过C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，如图所示，

则△BPH为等腰直角三角形，BP=BH>BC，
故在线段PQ上必存在A点，使得∠ABC=90°，AB=BC，
将x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，
即b>3；
当直线PQ在C点下方时，过C作CB⊥PQ于B，CB延长线交x轴于H，

则当BQ≥BC时，符合题意，
当直线PQ过H点时，BQ=BC，如图所示，

此时，－1+b=0，即b=1，
即1≤b