第26讲 圆锥曲线-高考数学必考考点二轮复习讲义（新高考专用）

第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线【考点梳理】求曲线的轨迹方程 直接法、定义法、相关点法椭圆方程椭圆相关计算（1）椭圆标准方程中的三个量的几何意义　 （2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 焦点弦：椭圆过焦点的弦。最短的焦点弦为通经，最长为。（3）最大角:是椭圆上一点，当是椭圆的短轴端点时，为最大角。（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导）双曲线 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为抛物线（1）、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．（2）、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．（3）、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．（4）、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：（5）、焦点弦的常考性质已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上【典型题型讲解】考点一：椭圆【典例例题】例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆的焦距为6，则实数（    ）A．13 B．40 C．5 D．例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【方法技巧与总结】【变式训练】1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则（    ）A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得C．直线的斜率为 D．平分2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.3.（2022·广东汕尾·高三期末）已知分别是椭圆C：的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，使得，的面积为，则正实数m的取值范围为______．4．（2022·广东肇庆·二模）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆上一点，点О为坐标原点，若，直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（    ）A． B． C． D．5．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．6．（2022·广东中山·高三期末）已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线被椭圆截得的弦长为求椭圆的标准方程若是椭圆上一点,是坐标原点,过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为,且,求的最大值7．（2022·广东·金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．8．（2022·广东潮州·高三期末）已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．9．（2022·广东东莞·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：.10．（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为，，当时，．(1)求C的方程；(2)证明：为定值．11．（2021·广东汕头·高三期末）已知椭圆的离心率为，又点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线，垂足为，试探究：是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.12．（2022·广东潮州·二模）设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.(Ⅰ)求椭圆的方程(Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.考点二：双曲线【典例例题】例1．（2022·广东珠海·高三期末）双曲线的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，，则双曲线C的离心率e为（    ）A． B． C． D．例2．（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.(1)求C的方程；(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.【方法技巧与总结】1.双曲线的定义：焦点三角形2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线【变式训练】1．（2022·广东潮州·高三期末）、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（    ）A． B． C． D．2．（2022·广东汕尾·高三期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．23．（2022·广东清远·高三期末）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点作的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，，则（    ）A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的渐近线方程为C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的离心率为4.（2022·广东东莞·高三期末）已知为双曲线：的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_______.5.（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系中，为双曲线的一个焦点，以为圆心的圆与的两条渐近线交于、、三点，若四边形的面积为，则的离心率为______．6.（2022·广东中山·高三期末）已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，则双曲线C的离心率为___________；若分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为，则___________．29．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．考点三：抛物线【典例例题】例1．（2022·广东惠州·一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（    ）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x例2．（2022·广东韶关·一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若抛物线与轨迹按顺时针方向依次交于四点（点在第一象限）.①求证：直线与直线相交于点；②设的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.【方法技巧与总结】1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.2.抛物线的性质：焦点弦长【变式训练】1．（2022·广东广州·一模）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（    ）A． B． C． D．2．（2022·广东广东·一模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则点F到直线PO的距离为（    ）A． B． C． D．3．（2022·广东茂名·一模）（多选）已知抛物线C:的焦点为，准线为，P是抛物线上第一象限的点，，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（   ）A．点P的坐标为（4，4） B． C． D．过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则直线的方程为：4．（2022·广东·一模）（多选）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（    ）A．时，B．时，的最小值为9C．时，D．时，的最小值为85．（2022·广东湛江·一模）（多选）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（    ）A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切C．的最小值为32 D．当最小时，6．（2022·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（    ）A． B． C． D．【巩固练习】一、单选题1．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．2．已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．3．已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（    ）A． B． C． D．4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）､（2）､（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别，设图（1）､（2）､（3）中椭圆的离心率分别为，则（    ）A． B．C． D．5．设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（    ）A． B． C． D．6．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．7．已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（    ）A． B． C． D．8.过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（    ）A．或 B．或 C．或 D．与p值有关二、多选题9．已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（    ）A． B． C． D．2．设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（    ）A． B． C． D．23．双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ）A． B． C．4 D．24．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（    ）A．的离心率为 B．的周长为C． D．5．已知抛物线C：，过其准线上的点T(1，-1)作C的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（    ）A．p=1 B．抛物线的焦点为F(0，1)C． D．直线AB的斜率为三、填空题1．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是________.2．已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．3．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆的方程：___________.4.因为正三角形内角余弦值为，所以有人将离心率为的椭圆称为“正椭圆”.已知“正椭圆”C：的上下顶点分别为，且“正椭圆”C上有一动点P（异于椭圆的上下顶点），若直线的斜率分别为，则为______.5．抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为___________.四、解答题1．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知椭圆，左焦点为，上顶点为，直线BF与椭圆交于另一点Q，且，且点在椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)设，，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形.2．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E的方程；(2)若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点．①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q．3．（2022·广东茂名·二模）已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．(1)(2)存在；或标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长轴长，短轴长离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁）