2022-2023学年宁夏回族自治区银川一中高一上学期期末考试数学试题含解析

2022-2023学年宁夏回族自治区银川一中高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合中元素的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】分析两个集合中的元素，得两个集合的交集.

【详解】集合表示直线上的点组成的集合，

集合表示大于或等于0的实数组成的集合，

所以，中元素个数为0个.

故选：A.

2．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据周期公式直接求解即可.

【详解】的最小正周期为

，

故选：C

3．已知命题，那么命题的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．

【详解】“，”的否定是“，”.

故选：C

4．函数的零点所在的一个区间是（       ）

A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)

【答案】B

【分析】求出各区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得解.

【详解】解：函数在是连续不断的，

由，

，

所以函数的零点所在的一个区间是.

故选：B.

5．函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】本题可根据正切函数性质得出，然后通过计算即可得出结果.

【详解】根据正切函数性质可知，

当时，函数单调递增，

即，

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数单调性的求法，主要考查正切函数的相关性质，正切函数的单调递增区间为，考查计算能力，是简单题.

6．函数的递减区间是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为定义域为

所以函数的递减区间是

故选：A

点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.

7．计算（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.

【详解】解：因为.

故选：A.

8．已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（   ）

A． B．ln＞ln

C． D．

【答案】D

【分析】由（）得，根据基本初等函数单调性逐个判断即可，或举出反例排除.

【详解】由（）得，

对A，，不恒成立，A错；

对B，ln＞ln，不恒成立，B错；

对C，三角函数有周期性，不恒成立，C错；

对D，，D对.

故选：D.

二、多选题

9．下列计算中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解

【详解】解：对于A，，故正确；

对于B，，正确；

对于C， ，正确；

对于D，，正确.

故选：ABCD

10．下列结论正确的是（    ）

A．函数的最小值为2

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】BD

【分析】由已知结合基本不等式及应用条件分别检验个选项即可判断，对C选项使用不等式性质判断.

【详解】令，则，

在，上单调递增，故，A错误；

当时，，当且仅当时取等号，B正确；

当，时，C显然不成立；

若，，则，，

则，当且仅当时取等号，D正确．

故选：BD．

11．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．的最小正周期为

B．为偶函数

C．在区间内的最小值为1

D．的图象关于直线对称

【答案】AC

【分析】由图知，的最小正周期为，结论A正确；

求出，从而不是偶函数，结论B错误；

因为，，则在区间内的最小值为1，结论C正确；

因为为的零点，不是最值点，结论D错误.

【详解】解：由图知，的最小正周期为，结论A正确；

因为，，则．因为为在内的最小零点，则，得，所以，从而不是偶函数，结论B错误；

因为，，结合图像可得在区间内的最小值为1，结论C正确；

因为，则为的零点，不是最值点，结论D错误.

故选：AC．

12．若函数对，同时满足：（1）当时有；（2）当时有，则称为函数．下列函数中是函数的为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据题意可知，函数是定义在上单调递增的奇函数，即可判断求出．

【详解】由条件（1）可知，对，都有，故是奇函数，

由条件（2）可知，当时，，故是增函数，

对于，是奇函数也是增函数，故A符合；

对于，，

又，是奇函数也是增函数，故B符合；

对于，，,是奇函数，但不是增函数，故C不符合；

对于，当时，，而当时，，故在定义域上不是增函数，不满足条件（2）, 故D不符合；．

故选：AB．

三、填空题

13． ______.

【答案】2

【分析】根据指对运算计算得出答案.

【详解】，

，

，

，

故答案为：2.

14．函数（，且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值为_____．

【答案】或

【分析】讨论或，根据指数函数的单调性求出最值即可求解.

【详解】当时，则函数在区间上单调递增，

由题意可得：，解得或（舍去）；

当 时，则函数在区间上单调递减，

由题意可得：，解得或（舍去）；

综上所述：或 ．

故答案为：或.

15．设一元二次不等式的解集为，则的值为_________

【答案】

【解析】根据一元二次不等式的解集为，可得方程的解为，2，利用韦达定理即可解答本题．

【详解】解：一元二次不等式的解集为，

方程的解为，2

，

，，

．

故答案为：．

【点睛】本题重点考查一元二次不等式的解集，明确一元二次不等式的解集与方程解之间的关系是解题的关键，属于基础题．

16．若，则___________.

【答案】

【分析】由，结合诱导公式，倍角公式求解即可.

【详解】故答案为：

【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.

四、解答题

17．已知 ．求：

(1)的值；

(2)若，求角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接根据二倍角的正切公式即可得解；

（2）利用两角和的正切公式求出，结合范围即可得结果.

【详解】（1）因为，所以.

（2）因为，所以，

又因为，所以，

故.

18．已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；

（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.

【详解】（1）因为当时，，

所以当时，，．

又为奇函数，所以（）．

∴．

（2）作出函数的图象如图所示：

要使在上单调递增，结合图象可知，解得．

所以的取值范围为．

19．已知.

(1)化简；

(2)若，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简即可；（2）由条件得到，再由，结合角的范围可得到最终结果.

【详解】（1）

（2）若，则

，

20．已知函数，．

(1)若，求的值；

(2)当时，求的最大值和最小值．

【答案】(1)或，

(2)的最大值为2，最小值为1

【分析】（1）由整体法列式求解；

（2）由整体法求函数单调区间，即可判断最值.

【详解】（1）∵，，即，

或，，

或，；

（2）∵，∴，

则当，单调递增；当，单调递减.

.

，，．

21．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．

(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；

(2)若f(x)为奇函数，求a的值；

(3)在（2）的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)a＝

(3)

【分析】（1）利用定义证明即可；

（2）由求出，再用定义验证即可；

（3）根据指数函数的单调性证明f(x)为增函数，再求值域.

【详解】（1）证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.

∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数．

（2）∵f(x)在x∈R上为奇函数，∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.

，即函数f(x)在x∈R上为奇函数

（3）由（2）知，f(x)＝－，由（1）知，f(x)为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．

∵f(1)＝－＝，∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为.

22．已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数解，，求实数m的取值范围，并求的值.

【答案】（1），（2），

【分析】(1)利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得的单调增区间；

(2)由函数的图像伸缩变换求得的解析式，再利用正弦函数化简，求出m的取值范围，再利用对称性求出的值.

【详解】（1）

因此的最小正周期为，

由，，

解得的单调递增区间为：，.

（2）由题意得，则方程可化简为

即

由图像可知，方程在上要有两个不相等的实数解，

即，并且，

【点睛】本题主要考查三角函数图像的单调性，还考查三角函数图像的伸缩变换，其中涉及二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，以及利用三角函数周期、对称轴求出参数范围.