2022-2023学年湖南省衡阳市第八中学高一下学期开学考试数学试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市第八中学高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别解指数不等式与绝对值不等式，列举法写出集合B，再求交集可得结果.

【详解】∵，

∴，

∴.

故选：B.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.

【详解】命题“，”的否定是：对，.

故选：B

3．若，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则<

【答案】C

【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断

【详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，

对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，

故选：C

4．下列各组函数表示同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可.

【详解】选项A函数的定义域为，而的定义域为，

故A错误；

选项B函数的定义域为，而的定义域为，

且，，故B正确；

选项C函数的定义域为，而的定义域为，

故C错误；

选项D函数的定义域为，而的定义域为，

但是，故解析式不一样，所以D错误；

故选：B.

5．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

6．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数单调性、对数运算法则、指数函数单调性可求得的范围，进而比较出大小关系.

【详解】，；

又，，

，，.

故选：D.

7．函数的图像大致为 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

详解：为奇函数，舍去A,

舍去D;

，

所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

8．已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（    ）

A．a的取值范围是(0,) B．的取值范围是(0,1)

C． D．

【答案】D

【分析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.

【详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解．

的图象如下图示，

由图知：，

所以，即的取值范围是(0,＋∞)．

由二次函数的对称性得：，

因为，即，故．

故选：D

【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.

二、多选题

9．下列说法正确的序号是（    ）

A．偶函数的定义域为，则

B．一次函数满足，则函数的解析式为

C．奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则

D．若集合中至多有一个元素，则

【答案】AC

【分析】对A，由偶函数定义域对称解出参数即可；

对B，设，则可得，建立方程组求解即可；

对C，由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解；

对D，分别讨论、解的个数即可

【详解】对A，偶函数的定义域为，，解得，A对；

对B，设一次函数，则，

∵，，解得或，函数的解析式为或，B错；

对C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，

，，，，，C对；

对D，集合中至多有一个元素，方程至多有一个解，

当时，方程只有一个解，符合题意；

当时，由方程至多有一个解，可得，解得，

或，D错.

故选：AC

10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图像关于原点对称

B．函数在上单调递增

C．函数在上的值域为

D．函数在上有且仅有3个零点

【答案】BD

【分析】根据奇函数的定义、余弦的二倍角公式，利用换元法、二次函数的性质、零点的定义逐一判断即可.

【详解】对于A，的定义域为R．因为，

所以，则函数的图象不关于原点对称，故A错误．

对于B，，

当，在上单调递增，即，令，时，

函数在上单调递增，根据复合函数单调性，故B正确．

对于C，当，即时，，

则问题转化为函数在上的值域，二次函数对称轴方程为，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，故值域为，故C错误．

对于D，令，即，解得或，

当时，或或，故函数在上有3个零点，故D正确．

故选：BD．

11．已知a，b为正实数，且，则（   ）

A．ab的最大值为8 B．的最小值为8

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.

【详解】因为，当且仅当时取等号，

解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；

由得，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；

，当且仅当，

即时取等号，C正确；

，

当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．

故选：ABC．

12．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（    ）

A．函数关于直线对称

B．4是函数的周期

C．

D．方程恰有4不同的根

【答案】ABD

【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：因为是偶函数，

所以，即

所以关于对称，故A正确.

对于B：因为，

所以，

所以，即周期，故B正确

对于C：

所以，故C错误；

对于D：因为，且关于直线对称，

根据对称性可以作出上的图象，

又，根据对称性，可作出上的图象，

又的周期，

作出图象与图象，如下图所示：

所以与有4个交点，故D正确.

故选： ABD

三、填空题

13．已知，则__________．

【答案】

【详解】试题分析：由已知，，则．

【解析】同角关系式．

14．已知幂函数经过点，则不等式的解集为___________．

【答案】

【分析】首先代入已知点求出，则，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.

【详解】设幂函数，

由题意得，解得，故，，

则，即为，

根据在上为单调增函数，则有，

解得，故解集为，

故答案为：．

15．已知函数在上的值域为，则m的取值范围是______．

【答案】

【分析】先求出，结合的值域即可求出的范围，进而解出m的取值范围.

【详解】因为，所以．因为在上的值域为，

，所以，解得．

故答案为：.

16．已知函数，且，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】由已知构造函数，由是一个奇函数且单调递增的性质解不等式.

【详解】由联想到构造，因为，

所以考虑，令，

由，可知函数为奇函数

又，所以函数在R上单调递增．

由，得，

即，由奇函数性质可得

，因为在R上单调递增，所以，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知命题p：；q：，使

(1)若命题p是假命题，求实数的取值范围；

(2)若命题p是假命题，命题q是真命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先求出p是真命题时的取值范围，进而求出p是假命题，实数的取值范围；

（2）求出q是真命题的取值范围，结合（1），即可求解.

【详解】（1）若命题p是真命题，即在上恒成立.

当时，，不能恒成立；

当时，只需即，．

若命题p是假命题，则．

即实数的范围为.

（2）若命题q为真命题，即，使，即在上的最大值大于等于0.

因为为开口向上的二次函数，对称轴为，故当2时取得最大值，即

属于当p假q真时，只需且，即．

即实数的范围为.

18．已知函数．

(1)判断函数在上的单调性，并利用定义证明；

(2)解不等式．

【答案】(1)单调递减，证明见解析

(2)或

【分析】（1）由单调性的定义，结合对数函数的性质，可得在上单调递减.

（2）首先判断为奇函数，由二次函数的值域和的单调性，去掉“”，由二次不等式的解法可得所求解集．

【详解】（1）函数在上单调递减．

证明：设，则，

由，可得，

所以，

即有，即，

所以在上单调递减.

（2）由，解得或，定义域为，关于原点对称，

，

所以为奇函数．

不等式即为，

而，，

由在上单调递减，可得，

即为，解得或．

所以原不等式的解集为或.

19．已知函数，，且．

(1)求a的值及函数的单调递增区间；

(2)求函数在区间上的最小值和最大值．

【答案】(1)a＝0，，

(2)最小值－1，最大值2

【分析】（1）化简函数解析式，由条件列方程求a的值，结合正弦函数的单调性结论求函数的单调区间.

（2）结合不等式的性质及正弦函数性质求函数在区间上的最小值和最大值.

【详解】（1）因为，

所以，

，

，

由知1＋a＝1，则a＝0，所以．

令，，则，，

则函数的单调递增区间为，．

（2）由（1）知，，则，

当，即x＝0时，函数有最小值－1；

当，即时，函数有最大值2．

20．计算：

（1）已知，求的值．

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）-1.

【解析】（1）先求得,由,分子分母同除,再将代入求解即可；

（2）先化切为弦,通分后利用差角公式化简,再利用诱导公式和倍角公式化简求值即可.

【详解】解:（1）因为,

所以,

所以

（2）

【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查正切,正弦的和（差）角公式的应用,考查利用分式齐次式求值.

21．2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会土的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

(1)试写出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式；

(2)当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000（万元）

【分析】（1）根据利润=销售额-成本，可得出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式；

（2）分别求出分段函数两个范围的最大值，再比较大小即可得到企业所获最大利润．

【详解】（1）根据利润=销售额-成本，可得

当时，

当时，

，

故；

（2）由（1）可知，

，

当时，，

当时，

当时，，

当且仅当，即时，，

，产量为（千部）时，企业所获利润最大，

最大利润是9000（万元）.

22．已知函数，其中 k 为常数．若函数在区间 I 上，则称函数为 I 上的“局部奇函数”；若函数在区间 I 上满足，则称函数为 I 上的“局部偶函数”．

(1)若为上的“局部奇函数”，当时，解不等式；

(2)已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”， ，对于上任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用局部奇函数的定义可得即可求得k的值，然后利用指数函数，对数函数的性质即得；

（2）先利用局部奇函数和偶函数的定义求出分段函数的解析式，再由换元法结合单调性求出分段函数的最值，解不等式即可求解.

【详解】（1）若为上的“局部奇函数”，所以，

即整理可得：，

所以，解得，

所以，

由，可得，

所以，解得，

又因为，所以，

所以不等式的解集为；

（2）若为上的“局部奇函数”，由（1）知，，

若为区间上是“局部偶函数”，可得，

即，整理可得：，

所以，解得，

所以，

令，

当时，，在单调递增，

当时，，当时，，

所以当时，，

当时，此时为局部偶函数，

当时，，在单调递增，

此时，

所以，，，

对于上任意实数，不等式恒成立，

可得，即，

解得：，

所以实数m的取值范围是.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.