湖南省名校联考联合体2022-2023学年高一下学期入学考试数学试题含解析

  名校联考联合体2023年春季高一入学考试

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据交集的定义和运算即可求解.

【详解】集合，，

而，所以.

故选：D.

2. 已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（）

A. 1 B. 4 C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】扇形的圆心角的弧度数为,半径为,弧长为,面积为,由面积公式和弧长公式可得到关于和的方程,进而得到答案.

【详解】由扇形的面积公式得:,

因为扇形的半径长为,面积为，则

所以扇形的弧长.

设扇形的圆心角的弧度数为,

由扇形的弧长公式得:，且

即，解得，所以扇形的圆心角的弧度数是4.

故选：B.

3. 函数（且）恒过定点（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数函数的知识确定正确选项.

【详解】当，即时，，所以定点为.

故选：C

4. 已知函数f(x)=-sinx，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

令，在同一坐标系中，作出的图象，利用数形结合法求解.

【详解】令，则，

在同一坐标系中，作出，如下图所示：

由图知，f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为2个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.

5. 为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）

A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．

【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，

纵坐标不变，得到函数的图象．

故选：．

6. 福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A. 5 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】C

【解析】

【分析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案.

【详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.

故选：C

7. 已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（　　）

A﹣1 B. 1 C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据16＝24，代入求解即可．

【详解】∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，

∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，

故选：C．

8. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出在上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．

【详解】因为在上单调递增，

所以当时，，

若函数的值域为R，

则，

解得．

故选：A.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若幂函数在上单调递减，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据幂函数的定义和性质可得，解之即可.

【详解】因为幂函数在上单调递减，

所以，，解得，

故，所以，.

故选：CD.

10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则下列说法正确的是（）

A. f(0) =0

B. f(x)为奇函数

C. f(x)在区间[m，n]上有最大值f(n)

D. f(x- 1)+f(x²-1)>0  的解集为{x|-2＜x＜3}

【答案】AB

【解析】

【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，，

根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；

对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；

对于C选项，任取，，且，则，，

所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；

对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项错误.

故选：AB．

11. 关于函数有下列结论，其中正确的是（）

A. 其图象关于y轴对称

B. 的最小值是

C. 当时，是增函数；当时，是减函数

D. 的增区间是，

【答案】ABD

【解析】

【分析】确定函数奇偶性从而判断A，由单调性求得最小值判断B，根据复合函数的单调性，结合偶函数的性质判断CD即可．

【详解】对于A，函数定义域为，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，故A正确；

对于B，函数，当时，令，原函数变为，，原函数又是偶函数，所以函数的最小值是，故B正确；

对于C，函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，故C错误；

对于D，由C，结合的图象关于y轴对称可得的增区间是，，故D正确.

故选：ABD

12. 我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期不可能为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】函数的周期性可由，结合选项和诱导公式一一验证即可求解.

【详解】由，

对A：，故A不可能

对B：，故B可能；

对C：，故C不可能；

对D：，故D不可能；

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ______.

【答案】0

【解析】

【分析】根据指数幂和对数的运算性质直接求解即可.

【详解】.

故答案为：0.

14. 如果，且是第四象限的角，那么______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据给定条件，利用同角公式及二倍角正弦公式计算作答.

【详解】由于，且是第四象限的角，则，

所以.

故答案为：

15. 已知，若，则______.

【答案】4042

【解析】

【分析】由得.

【详解】由题意，，

故，.

故答案为：4042.

16. 在上定义运算：.已知时，存在x使不等式成立，则实数m取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题中给出的新定义得到一元二次不等式，根据不等式能成立的含义求解.

【详解】由定义知，存在，成立，

即，

即，

即存在，使得成立，

因为函数在上单调递增，

所以当时有最大值等于，所以，

即，解得，

故答案为: .

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知不等式的解集是集合，函数的定义域是集合.

（1）分别求集合；

（2）若是成立的必要不充分条件，试求实数的取值范围.

【答案】（1）或，或

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式得集合A，令中真数大于零，解得集合B；

（2）由条件得集合A，B的包含关系，求出参数值.

【小问1详解】

由，化简得，即且，

解得，或，所以或.

由题意知，函数定义域满足，

即，解得，或，

所以或.

【小问2详解】

若是成立的必要不充分条件，则有B

因此，解得.

故所求实数的取值范围是.

18. 已知幂函数在上单调递增

（1）求m值；

（2）若，且，求的最小值.

【答案】（1）

（2）8

【解析】

【分析】(1)用幂函数的定义可求得的值，又由上单调递增确定.

(2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决.

【小问1详解】

由幂函数的定义得：，或，

当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；

当时，在上单调递增，符合题意；

综上可知：.

【小问2详解】

当且仅当且时，即时，的最小值为8.

19. 已知函数.

（1）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；

（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见详解；

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；

（2）将转化为，再用换元法将不等式化为，再利用配方法求得右式的最值，进而解决问题.

【小问1详解】

任取，且，则，

，

，

所以，所以在区间上单调递增.

【小问2详解】

不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，

令，因为，所以，则有在恒成立，

令，则，

所以，所以，所以实数的取值范围为.

20. 已知是定义在R上的偶函数.

（1）求a的值;

（2）若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数m的取值范围.

【答案】（1）0    （2）

【解析】

【分析】（1）根据偶函数满足求解即可；

（2）数形结合分析的根为2时的情况即可.

【小问1详解】

有偶函数性质可得，故，即，故.

【小问2详解】

由（1）可得，且当时，取得最小值，且.

故若关于x的方程，即有2个不相等的实数根，

则或，即或.

故实数m的取值范围为

21. 某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，．

（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润=销售收入－成本）；

（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．

【答案】（1）；

（2）当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.

【解析】

【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解；

（2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解．

【小问1详解】

当时，年利润，

当时，，

∴年利润；

【小问2详解】

当时，，

所以S在上单调递增，所以；

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，此时，

因为，所以，

故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.

22. 如图，一质点在以O为圆心，2为半径圆周上逆时针匀速运动，角速度为，初始位置为，，x秒后转动到点.设.

（1）求的解析式，并化简为最简形式；

（2）如果曲线与直线的两个相邻交点间的距离为，求的值.

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）

根据任意角的三角函数的定义求出，，进一步可得.

（2）

由已知建立三角方程，可求解.

【小问1详解】

由题意得，，

故

.

【小问2详解】

由，得，

则或，，

即或，

由，得；

由，得.

综上，或.