2021-2022学年河南省名校联盟高二上学期期末考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年河南省名校联盟高二上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合A，B，再根据交集定义即可求出.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

2．已知命题p：，，则是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题p的否定.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

∴是“，”.

故选：C.

3．已知，，则（       ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合同角三角函数的平方、商数关系求得，再应用和角正切公式求目标式的值即可.

【详解】由，，则，

∴，

又.

故选：A.

4．甲､乙两人准备参加驾照科目一的考试，满分为100分，现统计了以往两人10次模拟考试的成绩，如下面茎叶图所示，则下列说法错误的是（       ）

A．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 B．甲成绩的众数大于乙成绩的众数

C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数

【答案】D

【分析】根据茎叶图求甲乙的中位数、众数、极差、平均数判断各选项的正误即可.

【详解】由茎叶图知：甲成绩为，乙成绩为，

∴甲、乙的中位数分别为、，故A正确；

甲、乙的众数分别为、，故B正确；

甲、乙的极差分别为、，故C正确；

甲的平均数为，乙的平均数为，故D错误；

故选：D

5．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的.这七块板可拼成许多图形（1600种以上），如图所示，某同学用七巧板拼成了一个“鸽子”形状，若从“鸽子”身上任取一点，则取自“鸽子头部”（图中阴影部分）的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设正方形边长为1，求出七巧板中“4”这一块的面积，然后计算概率．

【详解】设正方形边长为1，由正方形中七巧板形状知“4”这一块是正方形，边长为，面积为，

所以概率为．

故选：C．

6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的外轮廓是正方形，正视图和侧视图为等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（       ）

A．6π B．8π C．12π D．16π

【答案】C

【分析】可得该几何体为四棱锥，求出底面外接圆半径和球心到底面的距离即可求出球半径，得出表面积.

【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，其中底面是边长为2的正方形，平面，且，

则正方形的外接圆半径为，球心到平面的距离，

所以外接球的半径，

所以该几何体的外接球的表面积为.

故选：C.

【点睛】7．已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线被圆截得的弦长为2b，则双曲线C的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】求出圆心到渐近线的距离，根据弦长建立关系即可求解.

【详解】双曲线的渐近线方程为，即，

则点到渐近线的距离为，

因为弦长为，圆半径为，所以，即，

因为，所以，则双曲线的离心率为.

故选：A.

8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内应填入的条件是（       ）

A．？ B．？ C．？ D．？

【答案】C

【分析】运行程序，根据程序输出结果确定所填入的条件.

【详解】运行程序，

，

，，判断否；

，判断否；

，判断否；

，判断否；

……

，判断否；

，判断是；

输出.

所以填：？

故选：C

9．在正四棱锥中，，，E为PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，设，可得即为异面直线BE与PC所成角.

【详解】如图，连接，设，

则在中，是中点，所以，

则即为异面直线BE与PC所成角，

因为正四棱锥，所以平面，所以，

因为四边形为正方形，所以，

因为，所以平面，所以，

因为，，则，

所以，

所以异面直线BE与PC所成角的余弦值为.

故选：.

10．已知，则3a，2b，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由指对数关系可得，，，再根据指对数的性质判断3a，2b，的大小关系.

【详解】由题设知：，，，

∴，，，

∴.

故选：B.

11．已知函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（       ）

A． B．直线为图象的一条对称轴

C．的图象关于点成中心对称 D．在上的最小值为

【答案】D

【分析】根据单调性建立不等关系求出，再代入验证可判断BC，根据正弦函数的性质求出最值可判断D.

【详解】由题意可知，解得，

取，可得，又因为，所以，故A错误，

，故B错误；

，故C错误；

当时，，则当时，取得最小值为，故D正确.

故选：D.

12．已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且，则的面积为（       ）

A． B．6 C． D．8

【答案】B

【分析】设出直线方程，与抛物线；联立，根据抛物线定义求出直线方程，再根据弦长公式求出，由距离公式求出点到直线的距离即可求出面积.

【详解】由题可知直线的斜率不为0，设方程为，，

联立方程，可得，

则，，

由抛物线定义可得，解得，

则,

点到直线的距离，

所以的面积为.

故选：B.

二、填空题

13．已知实数x，y满足不等式组，则的最大值与最小值之和为___________.

【答案】0.5

【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.

【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，

可化为，作直线并平移，

则在点处取得最大值，联立方程，解得，则，

在点处取得最小值，此时，

所以最大值和最小值之和为.

故答案为：.

14．在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，，若，则___________.

【答案】

【分析】利用向量运算表示，由此求得.

【详解】

.

故答案为：

15．已知数列的各项均为正数，为其前n项和，，.令，则数列的前25项和是___________.

【答案】

【分析】利用时，得出是等差数列，求出后得出，从而得，然后求出，利用裂项相消法法求和．

【详解】，

时．，所以，所以是等差数列，

公差为1，首项为1，所以，又数列各项为正，因此，所以，

，也适合．

所以，，

，

则数列的前25项和为．

故答案为：．

16．在中，，，则面积的最大值为___________.

【答案】

【分析】利用诱导公式，两角和与差余弦公式、同角间的三角函数关系得，得均为锐角，设边上的高为，由表示出，利用基本不等式求得的最大值，即可得三角形面积最大值．

【详解】中，，

所以，整理得，

即，所以均为锐角，

作于，如图，记，则，，

所以，，当且仅当即时等号成立．所以，

的最大值为．

故答案为：．

三、解答题

17．已知集合，非空集合.若是的必要条件，求实数t的取值范围.

【答案】

【分析】根据题意可得，求出集合A，列出不等式即可求出.

【详解】若是的必要条件，则，所以，所以，

由得，解得，即，

则，解得，

所以实数t的取值范围为.

18．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交抛物线C于P，Q两点，且为等腰直角三角形.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)已知点，且与直线l相切.设F为抛物线C的焦点，过点F与相切的直线交抛物线C于A，B两点，求AB的长.

【答案】(1)

(2)16

【分析】（1）设出抛物线方程，根据为等腰直角三角形求出即可；

（2）根据相切求出直线斜率，得出方程，与抛物线联立，根据焦点弦公式即可求出.

(1)

因为与抛物线有两个不同的交点，所以可设抛物线的方程为，

令，则，

根据题意和抛物线的对称性，可得，所以，解得，

所以抛物线的标准方程为；

(2)

由（1）知，

因为与相切，所以的半径为1，故的方程为，

由于直线与相切，故直线的斜率存在，设方程为，即，

根据点到直线的距离为1，可得，解得，

设，

由，可得，故，

所以.

19．已知钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且___________，，，求c的值.

(1)从条件①，②中选择一个填到横线上，并解决问题；

(2)以（1）中结论为条件，若D是边AC上一点，且，求线段BD的长度.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角可得，即可求出.选择条件①：求得，利用余弦定理即可求出；选择条件②，由正弦定理可得，再由余弦定理即可求出；

（2）利用余弦定理即可求出.

(1)

因为，

由正弦定理可得，

即，

因为，所以，则，

又，所以.

选择条件①：

由，得，

由余弦定理得，

即，解得或，

当时，，是直角三角形，不符合题意；

当时，，是钝角三角形，符合题意；

所以.

选择条件②，

因为，由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

即，解得.

(2)

由（1）知，中，，

由余弦定理可得，

即，故.

20．已知数列是各项均为正数的数列，且，.

(1)若，求数列的前n项和；

(2)是否存在正整数c，使的解集中n的值有且仅有3个？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，理由见解析

【分析】（1）时可得，时可得，即可求出，进而求出前项和；

（2）题目等价于关于的不等式的解集中有且仅有3个正整数，利用二次函数的性质可求.

(1)

因为①，

当时，，即，

当时， ①，

①-②可得，即，满足，

所以，则，

所以.

(2)

由可得，

设，则对称轴为，开口向上，

则的解集中n的值有且仅有3个等价于关于的不等式的解集中有且仅有3个正整数，

则，即，解得，

又为正整数，所以.

21．在矩形ABCD中，E是DC的中点，且，如图1.将沿AE折起，使，如图2.

(1)求证：平面平面BDE；

(2)求平面DAB与平面DCE所成二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用勾股定理证明和即可；

（2）以为原点建立如图空间直角坐标系，求出平面DAB与平面DCE的法向量，利用向量关系即可求出.

(1)

设，则，

在中，，所以，

在中，，所以，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面BDE；

(2)

分别取的中点，连接，

则由知，又，所以，

由（1）知平面，故平面平面，

又平面平面，所以平面，

则可以为原点建立如图空间直角坐标系，设，

则，

则 ，，，，

设平面的法向量为，

则，即，令，则，即，

设平面的法向量为，

则，即，令，则，即，

所以，

设平面DAB与平面DCE所成二面角为，

则，

所以平面DAB与平面DCE所成二面角的正弦值为.

22．已知椭圆C：的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线对称.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求的面积S的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题可得，将代入椭圆方程求得即可；

（2）设出直线的方程，与椭圆联立，表示出坐标，进而求出直线斜率，设出方程，代入椭圆，求出弦长，即可表示出面积，求出最大值.

(1)

因为短轴长为2，所以，

因为点在椭圆C上，所以，解得，

所以椭圆C的标准方程为；

(2)

由（1）知，，

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

则直线的方程为，

联立直线与椭圆方程消去可得，

设，

则，，

同理可得，，

所以直线的斜率，

故直线的斜率为定值，

设直线的方程为，直线与直线相交于点，

则，所以，

联立方程 ，可得，

，则，，

所以，

当且仅当时等号成立，所以的面积S的最大值为.