2021-2022学年河南省新乡市高二上学期期末考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年河南省新乡市高二上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为(       )

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法进行求解.

【详解】全称命题的否定是特称命题，则命题“，”的否定为“，”.

故选：C.

2．数列，，，，，…的一个通项公式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据每项与项数的关系可写出数列的一个通项公式.

【详解】由题可知，数列，，，，，…，每项的分母是项数的平方，奇数项为负，

故可得数列的一个通项公式为.

故选：A

3．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为(       )

A．3 B． C． D．6

【答案】A

【分析】作出可行域的图像，数形结合即可求z的最大值.

【详解】根据约束条件画出可行域：

，当直线过点A时，z取得最大值3.

故选：A.

4．抛物线的焦点坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】方程化为抛物线的标准方程，直接求解即可.

【详解】抛物线的标准方程为，

所以其焦点坐标为．

故选：D

5．已知空间向量，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得，结合，即可求解.

【详解】由题意，空间向量，，，

可得，

则.

故选：A.

6．已知椭圆的焦距为，则m的值不可能为（       ）

A．1 B．7 C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆的焦距，分，求解.

【详解】由题知，.

若，则，，

所以，即；

若，则，，即.

故选：D

7．对于实数a，b，下列选项正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质对各选项逐一分析即可得答案.

【详解】解：若，则与，与均不能比较大小，故A，B不正确；

若，则，，所以，即，故C正确，D不正确.

故选：C.

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，△ABC外接圆的半径为6，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意求得，根据正弦定理可求得a,b.继而求得sinC,再根据正弦定理求得答案.

【详解】因为，所以,

因为，所以,

因为△ABC外接圆的半径R为6，所以.

因为，所以.

因为，A为锐角，所以，

因为，

所以,

故选:D

9．已知p：（其中，），q：关于x的一元二次方程有一正一负两个根.若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为（       ）

A．1 B．0 C． D．2

【答案】C

【分析】由一元二次方程根的分布可得求命题q的参数a范围，再由命题间的关系求m的最值即可.

【详解】因为有一正一负两个根，

所以，解得.

因为p是q的充分不必要条件，

所以，且，则m的最大值为.

故选：C

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由角A，B，C成等差数列求得，再由正弦定理得，结合，利用三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质可求得答案

【详解】因为角A，B，C成等差数列，所以A＋C＝2B．

因为，所以．

因为

，

因为，所以

所以，

所以，

故．

故选：A

11．在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先以，，为基底，表示出，然后解向量方程组，用表示出，，，再由，，与的关系可得.

【详解】记，，，则，

解得

又

所以

整理得．

故选：B

12．已知焦距为6的双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，其中一条渐近线的斜率为，过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设M为的内切圆圆心，则的取值范围是（       ）

A． B．（2，6] C． D．

【答案】B

【分析】由焦距和渐近线的斜率求得得双曲线方程，根据双曲线的定义和内切圆性质得，然后用内切圆半径表示出和的面积及面积比，由弦长的最小值是通径长得出结论．

【详解】由题知，且2c＝6，根据，解得，，所以双曲线C的标准方程为．

如图，设的内切圆与三角形三边的切点分别是，由切线长性质，可得

，

因为，所以，所以与重合，

因此是的内切圆在AB边上的切点，所以．

因为，

,则，

所以的取值范围是．

故选：B．

二、填空题

13．已知等差数列的公差为2，前n项和为，若，则_______.

【答案】5

【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质求解.

【详解】因为，

所以.

又的公差为2，

所以.

故答案为：5

14．若正数a，b满足，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】依题意可得，则，利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为，，，所以，所以，

当且仅当时，等号成立.

故答案为：

15．已知点P是拋物线C：上一点，C的焦点为F（1，0），点A的坐标为（4，2），则的最小值为______．

【答案】5

【分析】利用抛物线的定义转化，再利用数形结合，即可求解最值.

【详解】由题知，抛物线方程为，准线l：x＝－1，过点P作PM⊥l，垂足为M，，垂足为点，如图，则．因为，此时，所求最小值为， 取得最小值5．

故答案为：5

三、双空题

16．如图，在棱长为2的正方体中，P为正方形（包括边界）内一动点，当P为的中点时，与所成角的余弦值为______；若，则的最大值为______．

【答案】          3

【分析】以D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，当P为的中点时，利用向量法即可求解异面直线与所成角的余弦值；设，，由题意可得，令，，，根据两点间的距离公式及三角函数的知识即可求解的最大值.

【详解】解：以D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），，．

当P为的中点时，，因为，，

所以，

所以与BD所成角的余弦值为；

设，，则，

因为，所以，即，

令，，，则，，

因为，所以，

因为，所以．

故答案为：；3.

四、解答题

17．已知p：，q：.

(1)当时，p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若是q的充分不必要条件：求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据条件及命题为真有，结合题设，即可求参数a的范围.

（2）命题间的关系有，列不等式组求a的范围.

【详解】(1)由题设，，

当时p为真命题，即，得：，又，

所以实数a的取值范围为.

(2)由（1），对应解集为，q：，解得，

因为是q的充分不必要条件，所以，且，

所以（等号不同时成立），解得，即a的取值范围是.

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求B；

(2)若，，求c.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由正弦定理化简条件，求得，从而求得角B.

（2）将条件，代入余弦定理求得c.

【详解】(1)因为，所以，

即，

化简得，所以，

又因为，所以.

(2)因为，

所以，

整理得，解得.

19．如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD，且PA＝2AB．

(1)证明：PB∥平面ACE．

(2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，即可得到，从而得证；

（2）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；

【详解】(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，则OE是△PBD的中位线．

因为OEPB，且平面ACE，平面ACE，

所以PB平面ACE．

(2)解：因为AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，所以AB，AD，AP两两互相垂直．

以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB＝2，则A（0，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），E（0，1，2），

所以，，．

设平面ACE的法向量为，则

令x＝2，得，

所以，故直线PC与平面ACE所成角的正弦值为．

20．已知数列的前n项和为，且.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据与的关系化简，根据等比数列的定义求证即可；

（2）由（1）求出，利用错位相减法求和即可得解.

【详解】(1)由，得.

当时，，解得；

当时，，

整理得.

故数列是以为首项，为公比的等比数列.

(2)由（1）可知，，则，故

，

则，

则，

故.

21．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与C的另一交点为D，问直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】(1)

(2)过定点，

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程，

（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标.

【详解】(1)由题知，，

把点代入椭圆C的方程，

，

故椭圆C的方程为.

(2)由题知直线BQ的斜率不为零.

设直线BQ的方程为，，，，

联立方程组消去x整理得，

则，.

直线AD的方程为，

令，得

.

故直线AD过定点.

22．三等分角是古希腊三大几何难题之一，公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题，如图，已知直线l：x＝1与x轴交于点C，以C为圆心作圆交x轴于A，F两点，在直径AF上取一点B，满足，以A，B为顶点，F为焦点作双曲线D：，与圆在第一象限交于点E，则E为圆弧AF的三等分点，即CE为∠ACF的三等分线．

(1)求双曲线D的标准方程，并证明直线CE与双曲线D只有一个公共点．

(2)过F的直线与双曲线D交于P，Q两点，过Q作l的垂线，垂足为R，试判断直线RP是否过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

【答案】(1)，证明见解析

(2)是，

【分析】（1）根据题意，可得a,b,c的关系，即可求出a,b,c，可得双曲线方程；再求出直线的斜率，即可证明其与双曲线D只有一个公共点．

（2）设出直线方程，并联立双曲线方程，得到根与系数的关系式，表示出直线RP的方程 ，利用根与系数的关系式，整理化简，可得结论.

【详解】(1)因为，所以2a＝2（c－a），所以c＝2a,

又 ,即 ,

所以c－a＝2，

所以a＝2，c＝4,

因为，所以双曲线D的标准方程为．

因为CE为∠ACF的三等分线，所以∠ECF＝60°，

所以．

因为双曲线D的一条渐近线的斜率为，

所以CE平行于双曲线D的渐近线，故直线CE与双曲线D只有一个公共点．

(2)设过F（4，0）的直线方程为x＝my＋4，，，，

联立方程组得，

则，，

直线RP的方程为，

令y＝0，则

，

所以直线RP过定点．

【点睛】本题考查了双曲线方程的求解以及直线和双曲线相交时过定点的问题，解答时要注意结合图形的几何特征解答，解答的关键是直线和双曲线方程联立，并化简整理时，运算比较繁杂，要十分细心.