考向14 三角函数的单调性和最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

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考向14  三角函数的单调性和最值1.【2022年北京卷第5题】已知函数，则 A.在上单调递减 B.在上单调递增 C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】C【解析】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.2.【2022年乙卷文科第11题】函数在区间的最小值、最大值分别为 A． B． C． D． 【答案】D【解析】，当时，；当时，；当时，.所以，;.又，所以;.故选.3．【2022年新高考2卷第9题】函数的图象以中心对称，则A．在单调递减；B．在有2个极值点；C．直线是一条对称轴；D．直线是一条切线．【答案】AD【解析】由题意得：,所以即：，又，所以时，,故．选项A：时，由图象知是单调递减的；选项B：时，由图象知只有1个极值点，由可解得极值点；选项C：时，，直线不是对称轴；选项D：由得：，解得或，从而得：或，所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即． 1．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．1．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在上是增函数，在及上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在及上是增函数，在上是减函数【答案】B【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.2．设函数f(x)＝sin，x∈，则以下结论正确的是(　　)A．函数f(x)在上单调递减B．函数f(x)在上单调递增C．函数f(x)在上单调递减D．函数f(x)在上单调递增【答案】C【解析】选C.由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增；由x∈得2x－∈，所以f(x)先增后减；由x∈得2x－∈，所以f(x)单调递减；由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增．3．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)A．[－，]　　　 B．[0，π]     C．[π，]      D．[，2π]【答案】D【解析】选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.4．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2，则f(x)的最小值为(　　)A.      B.     C.      D.【答案】A【解析】选A.f(x)＝sin2x＋sin2＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋sin xcos x＝＋＋sin 2x＝1＋＝1＋sin≥1－＝，故选A.5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤f对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是(　　)A.(k∈Z)  B.(k∈Z)C.(k∈Z)  D.(k∈Z)【答案】B【解析】选B.因为f(x)≤f对x∈R恒成立，则f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2x＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．故选B.6．已知函数在处取到最大值，则（    ）A．奇函数 B．偶函数C．关于点中心对称 D．关于轴对称【答案】B【解析】因为在处取到最大值，即，其中，则，所以，，所以，则为偶函数．故选：B．7．已知函数（，）的最小正周期是，将的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则关于函数的说法不正确的是（    ）A．是函数一条对称轴B．是函数一个对称中心C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减【答案】D【解析】，向左平移个单位长度后所得到的函数是，其中图象过，所以，因为，，所以．因为，所以是函数一条对称轴，故A正确因为，所以是函数一个对称中心，故B正确当时，，所以在区间上单调递增，故C正确当时，，所以在区间上不单调递减，故D错误故选：D8.已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________．【答案】和【解析】由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，又因为x∈[－π，0]，所以f(x)的单调递增区间为和.9.若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为　　　　.【答案】　【解析】易知当y＝sin (x＋φ)，y＝cos x同时取得最大值1时，函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x取得最大值2，故sin (x＋φ)＝cos x，则φ＝＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为.10.函数y＝cos 2x＋2cos x的值域是_____.【答案】　【解析】B［y＝cos 2x＋2cos x＝2cos2x＋2cosx－1＝2－，因为cos x∈［－1，1］，所以原式的值域为. 一、单选题1．（2022·陕西·千阳县中学一模（理））函数的图象为，如下结论中正确的是（     ）①图象关于直线对称； ②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】D【解析】由于时，，故①结论正确；由于时，，故②结论正确；由，解得，令得，故③结论正确；由于的图像向右平移个单位长度得到，故④结论错误.综上所述，正确结论为①②③.故选：D.2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（       ）A．函数的最小正周期是B．函数在区间上单调递减C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到D．函数的图象关于对称【答案】C【解析】，所以函数的最小正周期是，A正确；当时，，所以单调递减，故B正确；函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，故C错误；当时，，所以，所以的图象关于中心对称，D正确.故选：C3．（2022·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知，则，因为，所以所以易知的最小值为.故选：B4．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）A．的图象关于点对称B．的图象向右平移个单位后得到的图象C．在区间的最小值为D．为偶函数【答案】D【解析】因为的图象过点，所以，因为，所以，因为的图象过点，所以由五点作图法可知，得，所以，对于A，因为，所以为的图象的一条对称轴，所以A错误，对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B错误，对于C，当时，，所以，所以在区间的最小值为，所以C错误，对于D，，令，因为，所以为偶函数，所以D正确，故选：D5．（2022·上海静安·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（       ）A．为偶函数 B．为非奇非偶函数C．在上单调递减 D．的图象关于直线对称【答案】A【解析】由题得函数的定义域为，关于原点对称.,所以为偶函数，所以选项A正确，选项B错误；当时，，令 所以令得令得所以此时函数的单调递减区间为，所以选项C错误；，，即的图象不关于直线对称，所以选项D错误.故选：A6．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数，由函数f(x)在上单调递减，且，得，，解，.又因为ω>0，，所以k＝0，所以实数ω的取值范围是.故选：B7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（       ）A． B．在区间单调递减C．在区间上的最大值为2 D．为偶函数，则【答案】D【解析】因为函数，直线为图象的一条对称轴，所以，所以，又，所以，故A不正确；所以，对于B，当时，，所以在区间单调递增，故B不正确；对于C，当时，，在区间上的最大值为，故C不正确；对于D，若为偶函数，且，所以，解得，故D正确，故选：D.8．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由图象知，，∴，∴，，∴过点，∴，，且，∴，∴.令，，即，，∴的单调递增区间为，.故选：D. 二、填空题9．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）函数的最大值为______．【答案】13【解析】，令，所以可得所以由正弦函数的性质可知的最大值为.故答案为: 10．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．【答案】17【解析】由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,故答案为：1711．（2022·上海金山·二模）已知向量，则函数的单调递增区间为__________.【答案】【解析】由题意，，故 的单调递增区间：，即，故在的单调递增区间为故答案为：12．（2022·四川广安·模拟预测（理））已知函数（）在区间上单调递增，且函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】由题及得（）在单调递增，又函数（）在区间上单调递增，所以，，得 .在上有且仅有一个零点，可得，所以，，所以，.故答案为：.  1．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点③在单调递增④的取值范围是其中所有正确结论的编号是 (　　)A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】在有且仅有3个极大值点，分别对应，故①正确．在有2个或3个极小值点，分别对应和，故②不正确．因为当时，，由在有且仅有5个零点．则，解得，故④正确．由，得，，所以在单调递增，故③正确．综上所述，本题选D．2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(   )   A． B． C． D．【答案】A【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A.【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；③函数，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角函数的周期，例如，，所以周期.3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数有下述四个结论：①是偶函数②在区间单调递增③在有4个零点④的最大值为2其中所有正确结论的编号是 (　　)A．①②④    B．②④    C．①④    D．①③【答案】C解析：作出函数的图象如图所示，由图可知，是偶函数，①正确，在区间单调递减，②错误，在有3个零点，③错误；的最大值为2，④正确，故选C．4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则下列结论错误的是 (　　)A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减【答案】  D【解析】函数的周期为，，故A正确；又函数的对称轴为，即，，当时，得，故B正确；由，所以函数的零点为，当时，，故C正确；由，解得，所以函数的单调递减区间为，而，故D错误．【点评】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式．（2）求的对称轴，只需令，求；求的对称中心的横坐标，只需令即可．5．(2015高考数学新课标1理科)函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为(　　)A． B．C． D．【答案】D【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D．6．(2012高考数学新课标理科)已知，函数在上单调递减。则的取值范围是(　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】解析：∵y=sinx在上单调递减∴∴而函数在上单调递减∴即得且，根据答案特征只能是k=0，7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)函数()的最大值是         ．【答案】1【解析】解法一：换元法∵ ，∴ 设，，∴ 函数对称轴为，∴ 【点评】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，学科*网它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。8．(2014高考数学课标2理科)函数的最大值为_________．【答案】1【解析】 所以最大值为19．(2013高考数学新课标1理科)设当时，函数取得最大值，则 =______．【答案】【解析】∵==令=，，则==，当=，即=时，取最大值，此时=，∴===．