考向17 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

这是一份考向17 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版），共21页。试卷主要包含了在中，点在边上，等内容，欢迎下载使用。
考向17 平面向量的概念及线性运算

1．（2022新高考1卷第3题）在中，点在边上，．记，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，又因为，所以，即．故选B．
2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在中，为边上的中线，为的中点，则　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，为边上的中线，为的中点，∴
，故选．
3．（2020江苏第13题）在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是 ．

【答案】
【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知，
故，，故，故．
在中，；在中，由正弦定理得，
即．


1.平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．　
2.向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．　
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
3.共线向量定理的应用
（1）证明向量共线∶对于向量a，b，若存在实数λ，使a=λb（b≠0），则a与b共线
（2）证明三点共线若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线
（3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值

1．三点共线的等价转化:A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y.(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式:若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．


1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．
2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．


1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)

A.a＋b　　　 B．a－b C．－a－b D．－a＋b

2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|

3.如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　　)

A.－ B．2－2 C.－ D．2－2

4．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足＝2，那么＝(　　)

A.－ B．＋ C.－ D．＋

5.在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B． C．－ D．－

6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上

7．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是(　　)

A.＝ B．＝ C．BP＝－ D．＝

8．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b

9．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________．

10．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)


一、单选题
1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（　　）
A． B．
C． D．

2．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（       ）
A．2 B． C． D．

3．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（       ）
A． B． C． D．

4．（2022·全国·模拟预测（理））在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ）
A．9 B．8 C．4 D．2

5．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2

6．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边中，O为重心，D是的中点，则（       ）
A． B． C． D．

7．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）


A． B． C． D．

8．（2016·西藏日喀则·二模（文））在中，、分别是边、上的点，且，，若，，则（       ）
A． B． C． D．

9．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ）


A． B．2 C． D．1

10．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆的直径，P为圆上的点，则（       ）
A．4 B． C．8 D．

11．（2021·全国·模拟预测）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，则（       ）

A． B．
C． D．

12．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（     ）


A． B．
C． D．


二、多选题
13．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（       ）


A． B．
C． D．在上的投影向量为

14．（2022·海南华侨中学模拟预测）下列四个结论正确的是（　　）
A．若平面上四个点P，A，B，C，，则A．B，C三点共线
B．已知向量，若，则为钝角.
C．若G为△ABC的重心，则
D．若，△ABC一定为等腰三角形

三、填空题
15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，设四边形的对角线交于点O，若，则___________________．



16．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）点在椭圆上，不在坐标轴上，，，，，直线与交于点，直线与轴交于点，设，，则的值为______．


1.（2015）设D为ABC所在平面内一点，则( )
A. B.
C. D.


2．（20181）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=( )
A． - B． - C． + D． +


3.中，点在上，平分．若，，，，则( )
A. B. C. D.


4.（2014新课标1）设分别为的三边的中点，
则（ ）
A． B． C． D．


5.（20132）已知正方形的边长为,为的中点,则 ．



6.（20173）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．2


7.在所在平面内有一点O，满足，，则等于_______.

8．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则= ．


9．(2015北京)在中，点，满足，，若，则 ； ．



1．【答案】D
【解析】＝＝(－)＝(b－a)＝－a＋b.
2．【答案】C
【解析】因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
3.【答案】D
【解析】连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD.所以＝2＝2(－)＝2－2，故选D.
4．【答案】C
【解析】因为E为DC的中点，所以＝.因为＝2，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－，故选C.
5.【答案】A
【解析】由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝，故选A.
6．【答案】B
【解析】由＝λ＋得－＝λ，＝λ.则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
7．【答案】ABC
【解析】由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．
8．【答案】AB
【解析】对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量， 故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，AB＝a，CD＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．故选AB.
9【答案】-4
【解析】因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得＝k，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，
又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得解得λ＝－4.
10．【答案】b－a　－a－b
【解析】如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.



1．【答案】B
【解析】．
故选：B.
2．【答案】C
【解析】因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选：C．
3．【答案】A
【解析】因为O，A，B三点共线，则
所以，，即
整理得：
又∵向量，不共线，则，则
故选：A．
4．【答案】A
【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A
5．【答案】A
【解析】，是平面内两个不共线的向量，
，，
由A，B，C三点共线，则，则
则有，则有
则
（当且仅当时等号成立）
故选：A
6．【答案】D
【解析】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，

E为BC中点，则有，而D是的中点，
所以.
故选：D
7．【答案】C
【解析】因为，所以，
所以.
故选：C.
8．【答案】A
【解析】如图所示：

.
故选：A.
9．【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
10．【答案】C
【解析】设圆柱的高为，底面半径为
若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，
则：，
因为AB为圆的直径，P为圆上的点，所以在中，为AB中点

又在中，，且，则
如图：为圆柱的一个轴截面


所以

故选：C.
11．【答案】D
【解析】在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点，，
因，由黄金分割比可得，
于是得，即有，
同理有，而，即，
从而有，
所以.
故选：D
12．【答案】C
【解析】对于A，，故A正确，
对于B：因为，，所以，故B正确，
对于C：由题意是的外心，不是的重心
设中点为，则，
，故C错误，
对于D：，故D正确．
故选：C

13．【答案】BCD
【解析】

因为为正六边形，即每个内角都为
对于A，,故A错误.
对于B，连接,，则为等边三角形，设六边形边长为，中点为，连接，则，，，所以
即，故B正确.
对于C，由B选项可知，
且，故C正确.
对于D，因为，所以在上的投影向量为
故D，正确.
故选:BCD.
14．【答案】AC
【解析】对于A，由，所以，即，所以共线，因为有公共端点，所以A．B，C三点共线，所以A正确，
对于B，当时，，此时，则的夹角为，不是钝角，所以B错误，
对于C，延长，交于，因为G为△ABC的重心，所以为的中点，，
所以，所以，所以，所以C正确，

对于D，因为，，所以或，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以D错误，
故选：AC
15．【答案】
【解析】都为直角三角形，
，∴，，
，解得，
∴，
∴．
故答案为：.
16．【答案】1
【解析】：设直线的直线方程为，联立椭圆方程化简得，
所以或，当时，，
所以.当时，，所以，
所以，所以直线的方程为
当时，所以. 所以，
因为，，
所以，
所以.
故答案为：1





1.【答案】A
【解析】由题意得．故选A

2．【答案】B
【解析】故选A

3.【答案】B
【解析】
,故选B

4.【答案】A
【解析】,故选A

5.【答案】2
【解析】在正方形中，,,
所以


6.【答案】3
【解析】如图建立直角坐标系，则，， ，，由等面积法可得圆的半径为，
所以圆的方程为，
所以，，，
由，得，所以=，
设，即，
点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，
所以，解得，所以的最大值为3，
7.【答案】3
【解析】
又，

，故答案为3
8．【答案】3
【解析】由可得，，由=+得，即，两式相加得，，所以，所以．
9．【答案】
【解析】由 =．所以，．