考向18平面向量的数量积及应用举例（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

这是一份考向18平面向量的数量积及应用举例（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版），共27页。试卷主要包含了已知向量,，则，已知为坐标原点，点，，，，则，有关向量夹角的两个结论，在△ABC中，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
考向18 平面向量的数量积及应用举例

1．（2022甲卷理第13题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则　 　．
【答案】
【解析】．
2.（2022甲卷文科第13题）已知向量，，若，则________．
【答案】
【解析】由，得，解得．
3.（2022乙卷理科第3题）已知向量满足，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，，得，代入，，有，故.
4.（2022乙卷文科第3题）3．已知向量,，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，则，选项D正确．
（2022年新高考2卷第4题）已知，，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知有， ，故，解得.
5.（2022北京卷第10题）10.在中，为所在平面内的动点，且=1，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】建立如图所示坐标系，由题易知，设

所以选D.
【方法2】注意：，且


其中，.
6.（2021新高考1卷第10题）10．已知为坐标原点，点，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A：，，A对；
因为，，所以B错；
因为，
，，所以C对；
而，
，所以D错．
故答案为AC．

1.计算向量数量积的三个角度
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．　
2.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝ .　
3.求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝＝，|a±b|＝＝.
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．


1．求平面向量的模的公式
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b0，则△ABC为锐角三角形

9.如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝____．

10．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
11.已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．　
12．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．

一、单选题
1．（2021·全国·模拟预测）已知A，B，C，D在同一平面上，其中，若点B，C，D均在面积为的圆上，则（    ）
A．4 B．2 C．－4 D．－2
2．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知向量，.若，则可能是（    ）
A． B． C． D．
3．（2021··模拟预测）已知点，点，则的最大值为（    ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．（2022·全国·模拟预测）已知向量，，，，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则有最小值
B．若，则有最小值
C．若，则的值为
D．若，则的值为1
5．（2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若，则（    ）

A． B． C． D．
6．（2022·山东潍坊·模拟预测）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（    ）

A．－1 B．1 C．－3 D．3

二、多选题
7．（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（    ）


A． B．
C． D．
8．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知O为坐标原点，，， ，则下列结论正确的是（    ）
A．为等边三角形 B．最小值为
C．满足的点P有两个 D．存在一点P使得
9．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知,,其中，则以下结论正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
10．（2022·山东聊城·三模）在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（    ）

A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
三、填空题
11．（2022·四川广安·一模（理））早在公元前1100年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”，如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上任意一点，则的值为__________．

12．（2021·上海宝山·二模）如图，若同一平面上的四边形满足：（，），则当△的面积是△的面积的倍时，的最大值为________

13．（2021·浙江金华·三模）如图，在△ABC中，，，，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则___________.


14．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.


1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则(　　)
A． B． C． D．
2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，，则(　　)
A． B． C． D．
3． (2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 (　　)

A． B． C． D．

4．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量，满足，，则 (　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
5．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则 (　　)
A． B． C． D．
6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量，且，则 (　　)
A． B． C． D．
7．(2014高考数学课标2理科)设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab= (　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
8．(2021年高考全国甲卷理科)已知向量．若，则________．
9．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．
10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．
11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
12．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则___________．
13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则 ．
14．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则__________．
15．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量，，且，则 ．
16．(2015高考数学新课标2理科)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
17．(2014高考数学课标1理科)已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．
18．(2013高考数学新课标1理科)已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t =_____．


1.【答案】B
【解析】c·d＝·＝＝cos ＝.故选B.
2．【答案】D
【解析】由a＝(1，2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，所以a·b＝－3，所以向量b在a方向上的投影为＝－.故选D.
3．【答案】A
【解析】由非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，可得c＝－(a＋b)，所以a·c＝a·[－(a＋b)]＝－a2－a·b＝－a2－|a|·|b|·cosa，b．由于a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，所以a·c＝－a2－|a|·|b|cos 120°＝－|a|2－2|a|2×＝0.故选A.
4.【答案】B
【解析】因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又因为a·b＝0，c＝a＋b，所以|c|＝＝3，a·c＝a·(a＋b)＝，所以cos〈a，c〉＝＝.
因为〈a，c〉∈[0，π]，所以sin〈a，c〉＝.故选B.
5．【答案】C
【解析】因为a－b＝(，)，所以|a－b|＝，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝.故选C.
6．【答案】A
【解析】.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.
7.【答案】BCD
【解析】由＋＋＝0得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以在上的投影为||cos＝2×＝，故C正确．因为·＝·＝－2，·＝·＝2，故B，D正确．

8．【答案】BC
【解析】由向量的运算法则知－＝；＋＋＝0，故A错，B对；
因为(＋)·(－)＝||2－||2＝0，所以||2＝||2，即AB＝AC，
所以△ABC为等腰三角形，故C对；
因为·>0，所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC.

9.【答案】
【解析】因为M为BC的中点，所以＝(＋)，
所以||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
所以||＝.
10．【答案】－
【解析】因为|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2，所以a·b＝－|b|2，
令a与b的夹角为θ.所以cos θ＝＝＝－.
11.【答案】　
【解析】因为⊥，所以·＝0.又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.
12．【答案】－
【解析】方法一：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cos θ＝＝＝－.
方法二：因为2＝，所以E为BC的中点．

设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝＝＝－.

1．【答案】A
【解析】依题意，圆的半径为2，设圆心为O，因为，所以BD为圆的直径，，因为，则是等边三角形，所以，所成角为60°，所以
故选：A．
2．【答案】C
【解析】∵，，∴，
∴，又∵，
∴或，
对选项A，若，，
解得，此时不成立；
对选项B，若，，
解得，此时不成立；
对选项C，若，，
解得，此时成立；
对选项D，若，，且
，此时不成立.
故选：C
3．【答案】A
【解析】设，，
所以，
因为，
所以，，
所以要使最大，，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是将点坐标化，二是分析到时有最大值，然后再用辅助角公式.
4．【答案】A
【解析】∵，，∴．
对A：若，则，
当且仅当，即，，取得等号，故选项A正确；
对B：若，则，
当且仅当，，取得等号，故选项B错误；
对C：若，则，即，
则，故选项C错误；
对D：因为,
所以，，则D不正确.
故选：A．
5．【答案】D
【解析】连接CE，因为正八边形ABCDEFCH的每一个内角都是135°，且，

所以,
由正八边形的对称性知，且，所以，
则，
故选:D.
6．【答案】C
【解析】以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系，
则，设，

，
所以当时，取得最小值.
故选：C


7．【答案】AB
【解析】对于A，连接DH，如图，由DF=FH，得：，，A正确；


对于B，连接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，则，B正确；
对于C，与不共线，C不正确；
对于D，连接CH，BH，由选项A知，，而，则四边形是平行四边形，
，D不正确.
故选：AB
8．【答案】AD
【解析】对于A，，，
，，
为等边三角形，A正确；
对于B， ， ，
又，又在上单调递增，
，B错误；
对于C，，
即
，只有一个点，C错误；
对于D，假设存在点
， ，

即
，D正确；
故选：AD.
9．【答案】BCD
【解析】对于A，若，则，则，
因为，所以，则或或，故A不正确；
对于B，若，则，则，
因为，所以，所以或，
所以或，故B正确；
对于C，，则
，故C正确；
对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
10．【答案】ABD
【解析】对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；

对于B，取的中点分别为，连接，
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；

对于C，若的外心为M，，过作于点，
则.故C错误；

对于D，过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.


故选：ABD.

11．【答案】16
【解析】因为.
故答案为：16.
12．【答案】
【解析】因为，
所以，
过点S作于A，过点作于，

因为的面积是面积的，所以，从而，
在的两边同时点乘，
得，
由向量数量积的几何意义（投影）得，
从而，即，
整理得，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
【点睛】（1）在几何图形中进行向量运算:
①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
13．
【答案】
【解析】设，
而，所以，
，
因为，所以，，所以.
同理，所以.
，
，,
所以.
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
14．【答案】
【解析】设，，满足，
即满足①，都存在，使得恒成立，
即存在，使得②，
由①②可知：存在，使得成立
即，即，
化简得：③，
即③式恒成立，则必须满足，
解得：，即，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】有关于向量模长的取值问题或最值问题，坐标化处理是一种重要方法和思路，结合题目特征，合理设出向量，利用向量的坐标运算公式，二次函数根的分布或基本不等式，导函数等进行求解.




1．【答案】D
【解析】，，，．
，
因此，．
2．【答案】C
【解析】∵，，∴,∴，解得，即，则．
【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．
3.【答案】B
【解析】，所以，
所以．
4．【答案】B
【解析】
5．【答案】A
【解析】由题意,得,所以,故选A.
6．【答案】D
【解析】由可得：，所以，又
所以，所以，故选D．
7．【答案】A
【解析】因为
两式相加得：所以，故选A．
8．【答案】．
【解析】,
，解得,
9．【答案】
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
10．【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
11．【答案】
【解析】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：．
12．【答案】．
【解析】因为，，所以，
，所以，所以．
13．【答案】
【解析】依题意可得，又，
所以，解得．
14．【答案】
【解析】法一: ，所以．
法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．

法三:坐标法
依题意,可设,,所以
所以．
15．【答案】
【解析】由已知得：
∴，解得．
16．【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
17．【答案】
【解析】∵,∴O为线段BC中点,故BC为的直径,
∴,∴与的夹角为．
18．【答案】　2
【解析】=====0，解得=．