考向35利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向35  利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题

1．（2022年甲卷理科第10题）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为

 A． B． C． D．

【答案】A

【解析】椭圆的右顶点为，由于点，均在上，且关于轴对称，所以直线，也关于轴对称，即，，．

1．焦点三角形的面积、离心率

(1)设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则

①|PF1||PF2|＝；②S△PF1F2＝b2tan ；③e＝.

(2)设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则

①|PF1||PF2|＝；②S△PF1F2＝；③e＝.

2．中心弦的性质

设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAP·kBP＝e2－1.

3．中点弦的性质

设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.

(1)若圆锥曲线为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－，kAB·kOM＝e2－1.

(2)若圆锥曲线为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝，kAB·kOM＝e2－1.

(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝.

4．焦点弦的性质

(1)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且||＝λ||，则椭圆的离心率等于.

(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于||.

(3)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为，，＋＝，|AB|＝，S△AOB＝.

5.若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.

(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.

(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.

(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点.同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.

1.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1     C.－＝1  D.－＝1

2.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋＝1   C.＋＝1  D.＋＝1

3.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，经过右焦点且斜率为k(k＞0)的直线交椭圆于A，B两点，已知＝3，则k＝(　　)

A．1    B.    C.    D．2

4.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)

A.     B.     C.     D.

5.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－，则椭圆的离心率为________．

6.若P是＋＝1上的一点，F1，F2是其焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．

7.在椭圆Ax2＋By2＝1上，△PF1F2为焦点三角形，∠PF2O＝45°，∠PF1O＝15°，则椭圆的离心率e＝________．

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D，e＝，若cos∠F1BF2＝，则直线CD的斜率为________．

1．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（       ）

A．直线AB与OM垂直；

B．若直线方程为，则.

C．若直线方程为，则点M坐标为

D．若点M坐标为，则直线方程为；

2．（2021·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（       ）

A．    B．    C．    D．

3．（2021·湖北·高二阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

4．（四川省蓉城名校联盟2021-2022学年高二上学期期末联考理科数学试题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（       ）

A． B． C． D．

5．（2021·江西·南昌市新建区第一中学高二期末（理））已知斜率为的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，是线段的中点，是的焦点，的面积等于3，则（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·安徽蚌埠·高二期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·安徽·合肥市第六中学高三开学考试（文））已知抛物线，和分别为抛物线上的两个动点，若（为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（       ）

A．   B．     C． D．

8．（2022·江苏·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（       ）

A． B． C． D．

1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=              (　　)

A．1 B．2 C．4 D．8

2．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为 (　　)

A． B． C． D．2

3．(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)

A．16    B．14    C．12    D．10

4.（20142）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则的面积为______.

5.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．

1.【答案】B

【解析】由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，由双曲线中点弦中的斜率规律得kMO·kAB＝，即＝，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线的方程为－＝1.

2.【答案】D

【解析】c＝3，a2－b2＝9，AB的中点记为P(－1，1)，由kAB·kOP＝e2－1则

(－1)×＝－，∴a2＝2b2，解得a2＝18，b2＝9.

3.【答案】B

【解析】　∵λ＝3，e＝，由规律得cos α＝，cos α＝，k＝tan α＝.

4.【答案】D

【解析】抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝，故S△OAB＝＝＝.

5.【答案】

【解析】　kAP·kBP＝－，e2－1＝－，∴e2＝，e＝.

6.【答案】

【解析】S△F1PF2＝b2tan ＝64×＝.

7.【答案】

【解析】由公式e＝，即得e＝.

8.【答案】

【解析】设∠DBO＝θ，则cos∠F1BF2＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝，cos2θ＝，cos θ＝，利用Rt△F2OB易知kBD＝－，e＝，由kBD·kCD＝e2－1，得kCD＝.

1．【答案】D

【解析1】不妨设坐标为，则,，两式作差可得：

，设，则.

对A：，故直线不垂直，则A错误；

对B：若直线方程为，联立椭圆方程，

可得：，解得，故，

则，故错误；

对：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又，

解得，即，故错误；

此题对另解，直接利用二级结论，由于本题椭圆方程为，是型椭圆，所以：，故可得，即，又，

解得，即，故错误；

对：若点M坐标为,则，则，

又过点，则直线的方程为，即，故正确.

故选：.

2．【答案】D

【解析1】设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，

将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得，

可得，

因为线段的中点坐标为，所以，，，

因为抛物线的焦点为，所以，

又直线过点，因此，所以，，

整理得，又，解得，，

因此，椭圆的方程为，

故选：D.

【解析2】设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，因为抛物线的焦点为，所以，所以，设线段的中点坐标为，利用二级结论，又因为，解得，，因此，椭圆的方程为，故选：D.

3．【答案】A

【解析1】设、、，则，

两式相减得，所以．

因为，，所以．

因为，，所以，故，

故．

故选：A.

【解析2】直接利用双曲线中的二级结论，.

4．【答案】B

【解析】根据题意，设，所以①，②，

所以，①②得：，即，

因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，

所以，即，所以抛物线，准线方程为.

故选：B

5．【答案】B

【解析1】由抛物线知：焦点，设

因为是线段的中点，所以

将和两式相减可得：，即

∵∴,

.

故选：B

【解析2】因为抛物线方程，设的中点，由中点弦二级结论，可知：代入：，另焦点，因为面积，可知，再代入.

6．【答案】A

【解析1】设直线方程为 ，

联立 ，整理得： ，

需满足 ，即 ，则 ，

由 ，得： ，

所以 ，即 ，故 ，

所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，

故选：A.

【解析2】对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点,本题中由于直线的斜率之积为，所以，直接使用二级结论，所在直线过点，即.

7．【答案】B

【解析1】若直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.

设点、，设直线的方程为，

联立，消去可得，

，所以，，

因为，则，解得.

因此，抛物线的方程为.

故选：B.

【解析2】对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点,本题中由于,符合使用条件，由于弦恒过定点，所以.

8．【答案】D

【解析1】设直线的方程为，，，

由 得，

由根与系数的关系可得：，，

若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），

可得，所以，即，

所以，

，

所以，

即，解得或（舍）

所以直线的方程为，恒过点，

故选：D

【解析2】抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点,本例中，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），

可得，所以，即，所以直线过定点，即.

1．【答案】A

【解析1】，，根据双曲线的定义可得，

，即，

，，

，即，解得，

【解析2】

2．【答案】A

【解析1】由题可令，则 所以，，所以，所以

故选Ａ．

【解析2】离心率，由正弦定理得．故选A．

3．【答案】　A

【解析】(极坐标法)设l1的倾斜角为θ，那么|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝＋＝，因此l2的倾斜角为θ＋或θ－，即|DE|＝，因此即求4在上的最小值，令f(θ)＝，取最小值时sin θcos θ取最大值，因此θ＝，结果＝16.

4.【答案】

【解析1】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代人抛物线方程，整理得．

设，则，由物线的定义可得弦长

，结合图象可得到直线的距离，

所以的面积．

【解析2】秒杀公式的应用

5.【答案】2

【解析1】取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别是A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线上，∴|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)，∴MM′平行于x轴，∴y0＝1，又由中点弦的性质得kAB＝＝2.

【解析2】设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝，取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.

【解析3】由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，则∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝