考向25空间几何体的结构、三视图和直观图（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

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考向25  空间几何体的结构、三视图和直观图（2022年甲卷理）4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方系的边长为1，则该多面体的体积为 A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】该多面体的体积一个长方体体积减去一个三棱柱的体积得到，即，故选：B.（2022年浙江卷）5．某几何体的三视图如图所示(单位: )，则该几何体的体积（单位：) 是                  （     ）. A．     B． C．      D．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由半个球、一个圆柱和一个圆台组成，.  1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.4.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.1.常见旋转体的三视图  (1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.1.如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是(　　)2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)3.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下面的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)　A.①③   B.①④   C.②④   D.①②③④4.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，AB＝，PA＝BC＝1，则此几何体的侧视图的面积是(　　)A.   B.1   C.   D.5.已知四棱锥S－ABCD的三视图如图所示，则围成四棱锥S－ABCD的五个面中最大面的面积是(　　)A.3   B.6   C.8   D.106.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为(　　)A.8   B.4   C.4   D.4 7.有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是________.8.如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是______(填出所有可能的序号).一、单选题1．（2022·山东济南·二模）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（    ）A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变2．（2021·四川遂宁·三模（理））将直角三角形､矩形､直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是（    ）附：柱体的体积公式为底面面积，为柱体的高)锥体的体积公式为底面面积，为锥体的高)台体的体积公式为台体的上､下底面面积，为台体的高A． B． C． D．3．（2022·陕西咸阳·三模（理））古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（    ）A． B． C． D．4．（2021·江西南昌·二模（理））如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（    ）A．B．C．D．5．（2022·四川·射洪中学模拟预测（文））图形是信息传播､互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形.其体来说.做一个几何的“三视图”，需要观测者分别从几何体正面､左面､上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．6．（2023·安徽省宣城中学模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论：①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；②直线平面；③在棱BC上存在一点E，使得平面平面；④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为．其中正确结论的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题7．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）如图，是底面直径为高为的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转到，则（    ）A．圆柱的侧面积为B．当时，C．当时，异面直线与所成的角为D．面积的最大值为8．（2021·福建泉州·二模）四棱锥的三视图如图所示，平面过点且与侧棱垂直，则（    ）A．该四棱锥的表面积为B．该四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为C．平面截该四棱锥所得的截面面积为D．平面将该四棱锥分成上下两部分的体积比为 三、填空题9．（2022·陕西·西安中学一模（文））某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体，且正方体的一个面与圆锥底面重合，该面所对的面的四个顶点在圆锥侧面内．在图①②③④⑤⑥⑦⑧中选两个分别作为该零件的主视图和俯视图，则所选主视图和俯视图的编号依次可能为________（写出符合要求的一组答案即可）．10．（2022·安徽淮南·二模（理））3D打印又称增材制造，是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术为了培养青少年的创新意识和应用技能，某学校成立了3D打印社团，学生们设计了一种几何体，其三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），如果这种打印原料的密度为，不考虑打印消耗，则制作该模型所需原料的质量约为_______g．（取3.14）1．（2020年全国三卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A． B． C． D． 2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 3．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．     B．        C．90      D．814．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A．          B．         C．       D．5．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A．        B．       C．        D．  6．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20π           B．24π            C．28π           D．32π  1.【答案】B【解析】由圆柱切削后的几何体及其正视图知，截得的截面为椭圆，结合正视图，可知侧视图中右边的轮廓线不可见，故用虚线表示，故选B.2.【答案】B【解析】由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示.该几何体的侧视图为选项B中的图形.3.【答案】A【解析】由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.4.【答案】D【解析】由题知，BC⊥AC，BC⊥PA，又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∴该几何体的侧视图为直角三角形，两直角边长分别等于PA的长与AC的长，∵AB＝，BC＝1，∴AC＝1＝PA，∴侧视图的面积S＝×1×1＝.5.【答案】C【解析】如图，由三视图知四棱锥S－ABCD的侧面SAD与底面ABCD垂直，底面为矩形，矩形的相邻两边长分别为2，4，∴底面面积为2×4＝8.由正视图可得该四棱锥的高为＝，∴△SAD的面积为×4×＝2.侧面SAB与侧面SCD为直角三角形，其面积均为×3×2＝3.侧面SBC为等腰三角形，底边上的高为＝3，∴△SBC的面积为×4×3＝6.∴围成四棱锥S－ABCD的五个面中最大面的面积为8.6.【答案】D【解析】由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝×4×2＝4，故选D.7.【答案】①④【解析】命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的.8.【答案】①②③【解析】空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影③.一、单选题1．【答案】D【解析】把①拿掉后主视图和俯视图发生改变，左视图不变.故选：D2．【答案】C【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由圆锥，圆柱和圆台构成的组合体；如图所示：所以．故选：．3．【答案】D【解析】由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径，高为，则母线长，则圆锥的侧面积，圆锥底面积，则圆锥表面积为，则沙漏表面积为，故选: D.4．【答案】C【解析】研究平面DPB，设AC与BD的交点为O，BM与EF交点为N,为的中点，为的中点，，，又因为,过点作，设，，，又，，,,为4个格，为8个格，故选：C5．【答案】C【解析】由三视图知几何体为一侧棱垂直底面，底面为直角三角的三棱锥，且由网格纸知同一顶点互相垂直的三条棱的长为4，如图，所以三棱锥的外接球即为三棱锥所在的棱长为4的正方体的外接球，设外接球的半径为R，则,所以外接球的表面积，故选：C6．【答案】D【解析】对于①，设的中点为，连接，，，如图，为的中点，，又平面，平面，点，在平面上的正投影分别为，且点在平面上的正投影分别为其本身，三棱锥在平面上的正投影图为，又，即为等腰三角形，①正确；对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，即， ，，即，又，平面，平面，平面，即是平面的一个法向量，而，与不垂直，不与平面平行，②错误；对于③，如图设的中点为，连接，由②知，，，，，，即，，，即，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，③正确；对于④，如图，若为棱AB的中点，又为棱的中点，，平面，平面，平面，，又，和有公共的斜边，设的中点为，则点到的距离相等，为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，，，该球的体积为，④正确.综上所述，正确的结论为①③④.故选：D. 二、多选题7．【答案】BC【解析】对于A，圆柱的侧面积为，A错误；对于B，因为，所以，又，所以平面，所以，B正确； 对于C，因为，所以就是异面直线与所成的角，因为，所以为正三角形，所以，因为，所以，C正确；对于D，作，垂足为，连接，所以平面，所以.在中，，，所以，D错误. 故选：BC.8．【答案】ABD【解析】由三视图知原几何体是正四棱锥，如图，是棱锥的高，，是中点，则是斜高，，所以，表面积为，A正确；由正四棱锥性质知，是二面角的平面角，，B正确；在内过作于，在侧面内作交于，同理作出点（），则平面为平面，（因为，平面，所以平面，同理平面，所以四边形在同一平面内，为截面）．中，，，是正三角形，则是中点，，，中，，所以，，中，，中，由余弦定理得，则，，所以，C错；，又，所以下面一部分的体积为，上下两部分的体积为，D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原原几何体，考查正四棱锥的性质，棱锥的体积．解题关键是掌握正棱锥的性质，特别是正棱锥的直角三角形．作截面时，利用线面垂直的判定定理，即作垂线构造出截面． 三、填空题9．【答案】⑤⑦（或①⑧）【解析】若俯视图为图⑦，则主视图为图⑤，若俯视图为图⑧，则主视图为图①，故答案为：⑤⑦（或①⑧）10．【答案】【解析】该几何体下半部为底面半径为1高为1的圆柱，上半部为半径为1的球体的四分之一，则该几何体的体积为故制作该模型所需原料的质量故答案为：  1．【答案】C【解析】由题2可知：该几何体是棱长为的正方体割掉一部分剩下的一个角，如图所示，其面积为：，故选：C．    2．【答案】【分析】∵    ∴∴∴.    故答案为：. 3．【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为和3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9 +18+)=54 +．4．【答案】B【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为．选B．5．【答案】D【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为，故所求比值为．6．【答案】C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：，，故选C．