考向45坐标系与参数方程（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（老高考）（解析版）

这是一份考向45坐标系与参数方程（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（老高考）（解析版），共30页。
【2022年全国甲卷】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（是参数），曲线的参数方程为，（是参数）．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
【答案】（1）；
（2）与交点为和；与交点为和．
【解析】（1）由：消去参数得．
(2) 由：，两边乘以得，，得的直角坐标方程为．
联立，解得或
由：消去参数得．
联立，解得或
综上所述，与交点为和；与交点为和．
【2022年全国乙卷】在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
写出的直角坐标方程；
若与有公共点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，，
即，，
故的方程为：.
（2）由，得，
联立，，
即 ，，即，
故的范围是.
一、极坐标的转化问题
互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．
互化公式为eq \x(x＝ρcs θ，y＝ρsin θ)，eq \x(ρ2＝x2＋y2，tan θ＝\f(y,x)x≠0)
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcs θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
二、参数方程的消参问题
1.消参的常用方法
(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．
(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin2θ＋cs2θ＝1，sec2θ＝tan2θ＋1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,t)))2＝4等．
1．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcs(θ－θ0)＋ρeq \\al(2,0)－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acsθ；
(3)当圆心位于，半径为a：ρ＝2asinθ.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcs θ＝a；
(3)直线过且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3．直线、圆、椭圆的参数方程：
（1）经过一定点，倾斜角为的直线的参数方程为：(为参数)；
（2）直线参数方程的一般形式为（为参数）；
（3）圆的参数方程为(为参数)；
（5）椭圆的参数方程为(θ，为参数)．
1.混淆圆和直线的参数方程；
2.忽视直线参数方程是否具有几何意义；
3.因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误；
4.用极坐标求交点时，忽视极径为零的情况；
5.混淆参数方程中的角与极坐标中的角的不同几何意义；
6.参数方程与极坐标方程互化时，忽视参数的范围.
1.已知直线参数方程为，圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为_______
【答案】
【解析】将参数方程转化为一般方程：
所以圆心为，到直线的距离为：
2.以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点的极坐标为，曲线的参数方程为，则曲线上的点到点距离的最大值为___________
【答案】
【解析】，故曲线上距离最远的距离为到圆心的距离加上半径，故
3.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为，则圆截直线所得弦长为__________
【答案】
【解析】圆的方程为：，对于直线方程，无法直接替换为，需构造再进行转换：
再求出弦长即可：
4.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为_____________
【答案】
【解析】曲线方程为，联立方程可解得：或（舍）
由可得： 所以，坐标为
5.在极坐标系中，直线与曲线相交于两点，且，则实数的值为_____________
【答案】或
【解析】先将直线与曲线转化为直角坐标方程：，曲线，所以问题转化为直线与圆相交于，且，利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离即，解得或
6.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点，则_________
【答案】
【解析】先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于，这种特殊的极坐标方程可以考虑数形结合来确定直线：即，曲线消参后可得：即圆心是，半径为的圆，所以，
7.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是______________
【答案】
【解析】

的方程为
联立方程可得： 代入消去可得：

设交点 则

8.已知曲线的极坐标方程分别为，其中，则曲线交点的极坐标为_______
【答案】
【解析】解法1：
或
将两个点转化为极坐标分别为，因为，所以只有符合条件
解法2：代入消去可得：
交点坐标为
9.已知在极坐标系中，为极点，圆的极坐标方程为，点的极坐标为，则的面积为___________
【答案】
【解析】解法1：将转变为直角坐标系方程：
，所以，再求出的直角坐标为，则，因为，所以，且，所以
解法2：本题求出后，发现其极坐标为，而，所以可结合图像利用极坐标的几何含义求解，可得，，所以

10.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设点，曲线交于，求的值.
【答案】
【解析】解法1：


设
，

解法2：（前面转化方程，联立方程同思路一）设，



由得

解法3：设，则有，，则有
代入到中可得：
所以是方程的两根，整理可得：

1．（2022·四川省眉山第一中学模拟预测（理））如图，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为．曲线是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1．
(1)求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点的极坐标；
(2)以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（t为参数）．若曲线与曲线相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．
【答案】(1),；(2)2.
【解析】(1)曲线的极坐标方程为.
与方程联立代入得，,解得或,
故所求交点坐标分别为
(2)因为曲线为过原点倾斜角是 的直线，故其极坐标方程为和.
联立两曲线与的方程，解得两交点的极坐标分别为，
所以.
2．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O的极坐标系中，经过点的直线l与极轴所成角为，且与极轴的交点为N．
(1)当时，求l的极坐标方程；
(2)当时，求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)点，则，所以点的直角坐标为，
当时，直线的直角坐标方程为，转化为极坐标方程为.
(2)在极坐标系下：经过点的直线l与极轴所成角为，
在直角坐标系下：经过点的直线的倾斜角为或.
即直线的倾斜角是或.
当直线的倾斜角为时， 直线的方程为，
令得，，，
，
所以
.
当直线的倾斜角为时，
直线的方程为，
令得，
，
所以
.
综上所述，面积的取值范围是.
3．（2022·河南开封·三模（文））在极坐标系Ox中，已知点，直线l过点A，与极轴相交于点N，且.
(1)求直线l的极坐标方程；
(2)将OA绕点O按顺时针方向旋转，与直线l交于点B，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设为直线l上除点A外的任意一点，则，.
由点A的极坐标为知，.
设直线l与极轴交于点N，由已知.
在中，由正弦定理得：，
即，即.
显然，点A的坐标也是该方程的解.
所以，直线l的极坐标方程为.
(2)将OA绕点O按顺时针方向旋转，与直线l交于点B，则B的极坐标为，
代入直线l的极坐标方程得，即，即，
所以.
4．（2022·全国·二模（理））直线过点，倾斜角为．
(1)以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．过作的垂线，垂足为，求点的极坐标；
(2)直线与曲线（为参数）交于、两点，证明：、、成等比数列．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】(1)直线的斜率为，故直线的方程为，即，
所以，直线与轴交点为，与轴的交点为，
易知，所以，为等腰直角三角形，且，
因为，则为线段的中点，即点，
设点的极坐标为，则，，
又因为点在第四象限，则．
(2)将曲线的参数方程化为普通方程可得，
将直线的参数方程（为参数），代入曲线的方程．
可得，则，
设、对应的参数分别为、，由韦达定理可得，，
所以，，，
所以，，因此，、、成等比数列．
5．（2022·四川省泸县第一中学模拟预测（理））在极坐标系中，为极点，如图所示，已知以为直径作圆.
(1)求圆的极坐标方程 ；
(2)若为圆左上半圆弧的三等分点，求点的极坐标．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设点为圆上任意一点，则，
在中，.
∴ 圆的极坐标方程为.
(2)圆左上半圆弧的三等分点对应的极角分别，
代入圆的极坐标方程中，
∴ 圆左上半圆弧的三等分点分别为
6．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且，，以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)求的极坐标方程和所在圆的直角坐标方程；
(2)已知点M的直角坐标为，曲线和圆相交于A，B两点，求．
【答案】(1)；；(2)3
【解析】（1）因为，，所以的极坐标方程：，
因为点P的直角坐标是，
所以所在圆的直角坐标方程为．
（注：的极坐标方程不标明的取值范围或写错扣1分）
（2）设A，B对应的参数分别为，
将代入得：
所以
因为，由t的几何意义得：
7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知椭圆，和一条过定点且不与轴重合的直线相交于两点，线段的中点为点，
(1)求点的轨迹方程；
(2)射线交椭圆于点，为直线上一点，且为的等比中项，过点作圆 的两条切线，切点为 ，求面积的最小值 .
【答案】(1).(2).
【解析】（1）由题意，可设直线l：.不妨设，则，
消去x可得：，其中，，.
设线段的中点为点，所以，.
即（m为参数）.
消去m得：.
所以点的轨迹方程为：.
（2）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
由点的轨迹方程为：化为极坐标方程为，即.
椭圆化为极坐标方程为，即.
可设射线的极坐标方程为：.
因为射线交椭圆于点，为直线上一点，所以，.
因为为的等比中项，所以，即，解得：.
所以F点的轨迹的极坐标方程为或，化为直角坐标方程为或.
如图示：连接DM、DN，则.
连接MN交DF于K，则.设.
若点F在直线上时，由对称性可知，当F位于F1时，最大，此时由，，可得：.
若点F在直线上时，由对称性可知，当F位于F2时，最大，此时由，，可得：，所以.
在直角三角形DNF中，由，可得：.
在直角三角形KNF中，，.
所以.
记，则.
因为，所以，所以在上单调递减.
要求面积的最小值，只需最大.
若点F在直线上时， F位于F1时，最大.此时.
若点F在直线上时， F位于F2时，最大，有.此时.
综上所述：面积的最小值为.
8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））在极坐标系下，设点为曲线：在极轴上方的一点，且，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线的参数方程；
(2)以为直角顶点，为一条直角边作等腰直角三角形在的右下方，求点轨迹的极坐标方程．
【答案】(1)，其中为参数；(2)，
【解析】（1）曲线：，， ， ，
在直角坐标系中，曲线是以为圆心，为半径的圆，
曲线的参数方程为，其中为参数；
（2）设为，则，且，
设为，则根据题意可得： ，
，又，且，
， ，
，，
点轨迹的极坐标方程为，．
1.（2019全国I理22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.
C上的点到的距离为.
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.
2．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为 QUOTE x=a+4t,y=1-t, (为参数)．
(1)若，求与的交点坐标；
(2)若上的点到距离的最大值为，求．
【解析】（1）曲线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．
由解得或．
从而与的交点坐标为，．
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
．
当时，的最大值为．由题设得，所以；
当时，的最大值为．由题设得，所以．
综上，或．
3．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．
【解析】直线的普通方程为．
因为点在曲线上，设，
从而点到直线的的距离，
当时，．
因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．
4．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为．
(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
【解析】（1）设的极坐标为，的极坐标为．
由椭圆知，．
由得的极坐标方程．
因此的直角坐标方程为．
（2）设点的极坐标为．由题设知，，于是面积
．
当时，取得最大值．
所以面积的最大值为．
5. 在直角坐标系中，圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【解析】（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或
6．（2014新课标Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，．
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．
【解析】（I）C的普通方程为．
可得C的参数方程为
（t为参数，）
（Ⅱ）设D.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，．
故D的直角坐标为，即．
7.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
【解析】（1）令，则，解得或（舍），则，即.
令，则，解得或（舍），则，即.
；
（2）由（1）可知，
则直线的方程为，即.
由可得，直线的极坐标方程为.
8．（2016年全国II）在直角坐标系中，圆C的方程为．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．
【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为．
(Ⅱ)记直线的斜率为，则直线的方程为，
由垂径定理及点到直线距离公式知：，
即，整理得，则．
9．(2018全国卷Ⅱ)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
10．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为,设与的交点为,,求的面积．
【解析】（Ⅰ）因为，
∴的极坐标方程为，的极坐标方程为．
（Ⅱ）将代入，得，
解得=，=，|MN|=－=，
因为的半径为1，则的面积=．
11．（2016年全国I）在直角坐标系中，曲线的参数方程为 QUOTE （t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．
（I）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（II）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在 上，求a．
【解析】(1)（均为参数）∴①
∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
∵∴即为的极坐标方程
(2)
两边同乘得
即②
：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为
①—②得：，即为
∴，∴
12．（2015新课标Ⅱ）在直角坐标系中，曲线：（为参数，≠0）其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：．
（Ⅰ）求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值．
【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或
所以与交点的直角坐标为和．
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．
因此得到极坐标为，的极坐标为．
所以，
当时，取得最大值，最大值为．
13.（2020·新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
【解析】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），
两式平方相加得，
所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数），
所以，曲线的参数方程化为为参数），
两式相加得曲线方程为，
得，平方得，
曲线的极坐标方程为，
曲线直角坐标方程为，
联立方程，
整理得，解得或（舍去），
，公共点的直角坐标为.
14.（2019全国III理22）如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标.
【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，.
所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.
（2）设，由题设及（1）知
若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得.
综上，P的极坐标为或或或.
15．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：
，为与的交点，求的极径．
【解析】（1）消去参数得的普通方程；
消去参数得的普通方程．
设，由题设得，消去得．
所以的普通方程为
（2）的极坐标方程为
联立得．
故，从而
代入得，所以交点的极径为．
16．（2013新课标Ⅰ）已知曲线的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求与交点的极坐标（，）．
【解析】将消去参数，化为普通方程，
即：，将代入得，，
∴的极坐标方程为；
（Ⅱ）的普通方程为，
由解得或，
∴与的交点的极坐标分别为()，．
17.【2021年甲卷】 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
18.（2020·新课标Ⅱ）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【解析】（1）由得的普通方程为：；
由得：，两式作差可得的普通方程为：.
（2）由得：，即；
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，
则，解得：，所求圆的半径，
所求圆的直角坐标方程为：，即，
所求圆的极坐标方程为.
19.（2019全国II理22）在极坐标系中，O为极点，点在曲线 上，直线l过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
【解析】（1）因为在C上，当时，.
由已知得.
设为l上除P的任意一点.在中，
经检验，点在曲线上.
所以，l的极坐标方程为.
（2）设，在中， 即.
因为P在线段OM上，且，故的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .
20．(2018全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．
(1)求的取值范围；
(2)求中点的轨迹的参数方程．
【解析】(1)的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
(2)的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，则，
且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，．