高中数学高考课后限时集训2 命题及其关系、充分条件与必要条件 作业

命题及其关系、充分条件与必要条件

建议用时：45分钟

一、选择题

1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)

A．逆命题　　 B．否命题

C．逆否命题   D．否定

B　[命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．]

2．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．0   B．1

C．2   D．4

C　[当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．]

3．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．]

4．设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[由＜，得0＜x＜1，所以0＜x3＜1；由x3＜1，得x＜1，不能推出0＜x＜1．所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．故选A．]

5．(2019·庆阳模拟)有下列命题：

①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若m＞1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；

④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．

其中为真命题的是(　　)

A．①②③   B．②③④

C．①③④   D．①④

C　[①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”为真，故否命题为真；

②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；

③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R，则m＞1”，

∵当m＝0时，解集不是R，

∴应有即m＞1．

∴③是真命题；

④原命题为真，逆否命题也为真．

综上得①③④为真命题，故选C．]

6．下列说法正确的是(　　)

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件

C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题

D．“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件

C　[对A项，由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A错误；因为x2－x－2＝0⇔x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x2－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即B错误；因为由x＝y能推出sin x＝sin y，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝能推出tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，

即D错误．]

7．若x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．[－3,3]

B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,1]

D　[∵x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，

∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D．]

二、填空题

8．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．

充要　[由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．]

9．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

充分不必要　[当x＞1，y＞1时，x＋y＞2一定成立，即p⇒q，当x＋y＞2时，

可令x＝－1，y＝4，即q⇒/ p，

故p是q的充分不必要条件．]

10．直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．

k∈(－1,3)　[直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于＜，解之得－1＜k＜3．]

1．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

C　[由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，

即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b．

因为a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，

所以a·b＝0，能推出a⊥b．

由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，

能推出|a－3b|＝|3a＋b|，

所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．]

2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)

A．充分条件   B．必要条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

B　[“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．]

3．有下列几个命题：

①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

②③　[①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．

②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．]

4．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，m∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

(2，＋∞)　[因为A＝＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，

所以m＋1＞3，即m＞2．]

1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)

A．a＞b＋1   B．a＞b－1

C．a2＞b2   D．a3＞b3

A　[a＞b＋1⇒a＞b，但反之未必成立，故选A．]

2．给出下列说法：

①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；

②“在△ABC中，sin B＞sin C是B＞C的充要条件”是真命题；

③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；

④命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．

以上说法正确的是________(填序号)．

①②④　[对于①，“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B＞sin C⇔b＞c⇔B＞C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．]