高中数学高考课后限时集训3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 作业

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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一、选择题

1．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)

A．p是假命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

B．p是假命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0

C．p是真命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

D．p是真命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0

B　[因为3x＞0，所以3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，所以p是假命题，p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0.故应选B.]

2．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)

A．命题p是真命题

B．命题p是特称命题

C．命题p是全称命题

D．命题p既不是全称命题也不是特称命题

C　[该命题是全称命题且是真命题．故选C.]

3．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示(　　)

A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米

B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米

C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米

D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米

D　[∵命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p∨q表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”，故选D.]

4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是(　　)

A．“p∨q”为真命题   B．“p∧q”为真命题

C．“p”为真命题   D．“q”为假命题

A　[由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“p”为假命题，“q”为真命题．综上所述，可知选A.]

5．(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题：

P1：∃x∈R，sin x＋cos x＝2；

P2：∃x∈R，sin 2x＝sin x；

P3：∀x∈，＝cos x；

P4：∀x∈(0，π)，sin x＞cos x.

其中真命题是(　　)

A．P1，P4   B．P2，P3

C．P3，P4   D．P2，P4

B　[因为sin x＋cos x＝sin，所以sin x＋cos x的最大值为，可得不存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立，得命题P1是假命题；

因为存在x＝kπ(k∈Z)，使sin 2x＝sin x成立，故命题P2是真命题；

因为＝cos2x，所以＝|cos x|，结合x∈得cos x≥0，由此可得＝cos x，得命题P3是真命题；

因为当x＝时，sin x＝cos x＝，不满足sin x＞cos x，所以存在x∈(0，π)，使sin x＞cos x不成立，故命题P4是假命题．故选B.]

6．(2019·安徽芜湖、马鞍山联考)已知命题p：∃x∈R，x－2＞lg x，命题q：∀x∈R，ex＞x，则(　　)

A．命题p∨q是假命题

B．命题p∧q是真命题

C．命题p∧(q)是真命题

D．命题p∨(q)是假命题

B　[显然，当x＝10时，x－2＞lg x成立，所以命题p为真命题．设f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)≥f(0)＝1＞0，所以∀x∈R，ex＞x，所以命题q为真命题．故命题p∧q是真命题，故选B.]

二、填空题

7．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．

(－∞，－12)∪(－4,4)　[命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]

8．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.

0　[若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.]

9．以下四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x0∈Q，x＝2；③∃x0∈R，x＋1＝0；④∀x∈R,4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

0　[∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2＞0，

∴当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，

∴①为假命题；

当且仅当x＝±时，x2＝2，

∴不存在x0∈Q，使得x＝2，∴②为假命题；

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题，

∴①②③④均为假命题．

故真命题的个数为0.]

10．已知命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________．

(－∞，－2]∪(－1，＋∞)　[由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，可得－2＜m＜2，因为p∧q为假命题，所以m≤－2或m＞－1.]

1．(2019·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是(　　)

A．p为假命题   B．q为真命题

C．p∨q为真命题   D．p∧q为假命题

C　[函数f(x)不是偶函数，仍然可∃x∈R，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝在R上是增函数，q为假命题．所以p∨q为假命题，故选C.]

2．(2019·湖北荆州调研)已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4，给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨(q)，则其中真命题的个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

C　[由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(q)，(p)∨(q)是真命题，故选C.]

3．若命题“∀x∈，1＋tan x≤m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________．

[1＋，＋∞)　[根据题意得不等式1＋tan x≤m，∀x∈恒成立，∵y＝1＋tan x在x∈上为增函数，∴(1＋tan x)max＝1＋tan＝1＋，则有m≥1＋，即实数m的取值范围是[1＋，＋∞)．]

4．下列命题中正确的是________．(填序号)

①“函数y＝＋(x∈R)的最小值不为2”是假命题；

②“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件；

③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；

④若命题p：∃x0∈R，x＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0.

②④　[对于①，设t＝，t≥3，∴y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，∴y＝t＋的最小值为，∴函数y＝＋(x∈R)的最小值不为2是真命题，故①错误；对于②，因为“a2＋a＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，根据原命题及其逆否命题同真同假，可知②正确；对于③，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误；对于④，若命题p：∃x0∈R，x＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0，是真命题．]

1．(2019·黄冈模拟)下列四个命题：

①若x＞0，则x＞sin x恒成立；

②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；

③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；

④命题“∀x∈R，x－ln x＞0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0＜0”．

其中正确命题的个数是(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

C　[对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y＝x－sin x在R上递增，即当x＞0时，x－sin x＞0－0＝0，则当x＞0时，x＞sin x恒成立，故①正确；

对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；

对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；

对于④，命题“∀x∈R，x－ln x＞0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④错误．

综上，正确命题的个数为3，故选C.]

2．已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2)．

(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________．

(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________．

(1)[3，＋∞)　(2)(1，]　[(1)∵f(x)＝＝(x－1)＋＋1，

∵x≥2，∴x－1≥1，

∴f(x)≥2＋1＝3.

当且仅当x－1＝，即x－1＝1，x＝2时等号成立．

∴m∈[3，＋∞)．

(2)∵g(x)＝ax(a＞1，x≥2)，

∴g(x)min＝g(2)＝a2.

∵∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，

∴g(x)min≤f(x)min，∴a2≤3，即a∈(1，]．]