高中数学高考课后限时集训8 幂函数与二次函数 作业

幂函数与二次函数

建议用时：45分钟

一、选择题

1．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．1或2   D．3

A　[∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件，故选A.]

2．已知幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝f(x)＋的最小值为(　　)

A．1   B．2

C．4   D．6

A　[设幂函数f(x)＝xα.

∵f(x)的图象过点，∴2α＝，解得α＝－2.

∴函数f(x)＝x－2，其中x≠0.

∴函数g(x)＝f(x)＋＝x－2＋

＝＋≥2＝1，

当且仅当x＝±时， g(x)取得最小值1.]

3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

A　　　　B　 　　C　　 　D

C　[若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.]

4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则(　　)

A．a＞0,4a＋b＝0   B．a＜0,4a＋b＝0

C．a＞0,2a＋b＝0   D．a＜0,2a＋b＝0

A　[由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先减后增，于是a＞0，故选A.]

5．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为(　　)

A．x＜z＜y   B．y＜x＜z

C．y＜z＜x   D．z＜y＜x

A　[由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y＞z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x＜z.所以x＜z＜y.]

二、填空题

6．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．

(－∞，－6]∪[4，＋∞)　[由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，

所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，

应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.]

7．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．

f(x)＝－4x2－12x＋40　[设f(x)＝a2＋49(a≠0)，

方程a2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，

则|x1－x2|＝14＝7，

所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.]

8．已知函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a＞1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8 恒成立，则a的最大值为________．

2　[令ax＝t，因为a＞1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a＞1，所以a的最大值为2.]

三、解答题

9．求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．

[解]　函数f(x)＝－2＋的图象的对称轴为x＝，应分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三种情形讨论．

(1)当a＜－2时，由图1可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)．

(2)当－2≤a≤2时，由图2可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f＝.

(3)当a＞2时，由图3可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1.

图1　　　　　图2　　　　　图3

综上可知，f(x)max＝

10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．

[解]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，

由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.

所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，

因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.

(2)因为当x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，

所以在[－1,1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立，

即x2－3x＋1＞m在区间[－1,1]上恒成立．

所以令g(x)＝x2－3x＋1＝2－，

因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1，

所以m＜－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．

1．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)   B．(－2，＋∞)

C．(－6，＋∞)   D．(－∞，－6)

A　[不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，

令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，

所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.]

2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.

其中正确的是(　　)

A．②④   B．①④

C．②③   D．①③

B　[因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；

对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；

结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.

又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．]

3．已知y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．

1　[当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.]

4．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．

[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，

对称轴为x＝－∈[－2,3]，

∴f(x)min＝f＝－－3＝－，

f(x)max＝f(3)＝15，

∴函数f(x)的值域为.

(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.

①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；

②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．

综上可知，a＝－或－1.

1．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．

[由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．]

2．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

[解]　f(x)＝(x－a)2＋a－a2，

当－2≤a＜－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，

∴由得a＝－1(舍去)；

当－1≤a≤0时，由得a＝－1；

当0＜a≤1时，由得a不存在；

综上可得，存在实数a满足题目条件，a＝－1.