高中数学高考课后限时集训12 函数与方程 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训12 函数与方程 作业，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题
1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B [∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，
∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．]
2．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋ln x，x＞0))的零点个数为( )
A．3 B．2
C．7 D．0
B [法一：(直接法)由f(x)＝0得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2＋x－2＝0))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞0，,－1＋ln x＝0，))
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．]
3．已知a是函数f(x)＝2x－lgeq \f(1,2)x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定
C [f(x)在(0，＋∞)上是增函数，若0＜x0＜a，
则f(x0)＜f(a)＝0.]
4．已知函数f(x)＝x－eq \r(x)(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3
C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
C [作出y＝x与y1＝eq \r(x)，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知选C.
]
5．(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≤0，,\f(1,x)，x＞0，))则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D [当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)＝m，即x＋eq \f(1,x)＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.]
二、填空题
6．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是 ．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) [∵函数f(x)的图象为直线，
由题意可得f(－1)f(1)＜0，
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得eq \f(1,3)＜a＜1，
∴实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).]
7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是 ．
[∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＋3＝－a，,－2×3＝b.))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－6，))
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，
解集为
8．(2019·漳州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x＞0，,x2＋x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是 ．
[作出函数f(x)的图象如图所示．
当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up20(2)－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－eq \f(1,4)＜m≤0，即实数m的取值范围是
三、解答题
9．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．
(1)求m的值．
(2)求函数的零点．
[解] (1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
所以m＝±2，
当m＝－2时，t＝1；
当m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．
所以2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
所以这种情况不符合题意．
综上可知：当m＝－2时，f(x)有唯一零点．
(2)由(1)可知，该函数的零点为0.
10．设函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))(x＞0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
[解] (1)如图所示．
(2)因为f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1，x∈0，1]，,1－\f(1,x)，x∈1，＋∞，))
故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．
由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，
且eq \f(1,a)－1＝1－eq \f(1,b)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
1．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点，则g(x0)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－eq \f(2,3)＞0，
故x0∈(2,3)，∴g(x0)＝[x0]＝2.故选B.]
2．(2019·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于( )
A．1 B．－1 C．e D.eq \f(1,e)
A [考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝eq \f(1,x)的图象的交点A，B的横坐标，而Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,x1)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(1,x2)))两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A.]
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|ln x|，x＞0，,exx＋1，x≤0.))若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是 ．
(0,1] [令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)＜0得ex(x＋2)＜0，即x＜－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)＞0得ex(x＋2)＞0，即－2＜x＜0，此时f(x)为增函数，即当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－eq \f(1,e2)，作出f(x)的图象如图：要使f(x)＝b有三个根，则0＜b≤1.
]
4．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
[解] (1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a＜eq \f(5,4)时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4))).
1．已知f(x)＝若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪[1,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪[1,2)
C．(1,2) D．[1,2)
B [关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根等价于y＝a、y＝f(x)的图象有两个不同的交点，画出y＝a、y＝f(x)的图象，如图，由图可知，当a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪[1,2)时，y＝a、y＝f(x)的图象有两个不同的交点，此时，关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根，所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪[1,2)．故选B.
]
2．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝lgax有三个不同的实根，求a的取值范围．
[解] 由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝lgax有三个不同的根，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞1，,lga6＜2，,lga10＞2.))解得eq \r(6)＜a＜eq \r(10)，
故a的取值范围是(eq \r(6)，eq \r(10))．