高中数学高考课后限时集训13 函数模型及其应用 作业

函数模型及其应用建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·广东广州一模)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)B　[函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，一开始，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B，故选B.]2．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)A．y＝100x　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x   D．y＝100log2x＋100C　[根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.]3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　)A．减少7.84%   B．增加7.84%C．减少9.5%   D．不增不减A　[设某商品原来价格为a，四年后价格为：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)A.   B.C.   D.－1D　[设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)·(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.]5．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)A．11.5元   B．11元C．10.5元   D．10元A　[根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故选A.]二、填空题6．一个工厂生产一种产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是        台．75　[由题意可知，利润f(x)＝25x－y＝－0.1x2＋15x－300，(0＜x≤240，x∈N)∴当x＝75时，f(x)取到最大值．]7.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场池，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为        m2.(围墙厚度不计)2 500　[设围成的矩形场地的长为x m，则宽为 m，则S＝x·＝(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2 500(m2)．]8．已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝ (a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为        ．　[设投资乙商品x万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元．利润分别为Q＝ (a＞0)，P＝，因为P＋Q≥5,0≤x≤20时恒成立，则化简得a≥，0≤x≤20时恒成立．(1)x＝0时，a为一切实数；(2)0＜x≤20时，分离参数a≥，0＜x≤20时恒成立，所以a≥，a的最小值为.]三、解答题9．某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定k，b的值．(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x(单位：千元)近似满足关系式：q＝2－x，当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．[解]　(1)由已知得：解得b＝5，k＝1.所以(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋＝1＋.而f(x)＝x＋在(0,4]上单调递减，所以当x＝4时，f(x)有最小值，故当x＝4时，关税税率的最大值为500%.10．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解]　(1)因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝－x2＋6x－5；当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.所以P(x)＝(2)当0＜x＜8时，P(x)＝－(x－6)2＋13，当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；当x≥8时，P′(x)＝－1＋＜0，所以P(x)为减函数，当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.由13＜可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　)A. R   B. RC. R   D. RD　[由＋＝(R＋r)，得＋＝M1.因为α＝，所以＋＝(1＋α)M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，即33≈，所以r≈·R，故选D.]2．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)A．10.5万元   B．11万元C．43万元   D．43.025万元C　[设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－·＋×＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]3．某工厂投资100万元开发新产品，第一年获利10万元，从第二年开始每年获利比上一年增加20%.若从第n年开始，前n年获利总和超过投入的100万元，则n＝        .(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)7　[由从第n年开始，前n年获利总和超过投入的100万元，得10＋10×(1＋20%)1＋10×(1＋20%)2＋…＋10(1＋20%)n－1＞100，即＞100，所以n＞＝≈≈6.即从第7年开始，前7年获利总和超过投入的100万元．]4．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x户(x∈Z,1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为万元(参考数据：1.13＝1.331,1.153≈1.521,1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．[解]　(1)至2020年底，种植户平均收入＝≥1.6，即≥1.6，即x≥20(－1)．由题中所给数据，知1.15＜＜1.2，所以3＜20(－1)＜4.所以x的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作．(2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为≥1.35，化简得3x2－30x＋70≤0.因为x∈Z且1≤x≤9 ，所以x∈{4,5,6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．1．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付        元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为        ．130　15　[①一次购买草莓和西瓜各一盒需付款140元，若x＝10，则超过120元可少付10元，故顾客实际需要支付130元．②设顾客一次购买水果促销前总价为y元．当y＜120时，不享受优惠，即x＝0，此时0.8y≥0.7y，满足要求．当y≥120时，享受优惠x元，则0.8(y－x)≥0.7y，得x≤y恒成立．又∵y≥120，∴y≥15，∴x≤15，即x的最大值为15.]2．据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积为时间t内台风所经过的路程s(单位：km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．[解]　(1)由图象可知，直线OA的方程是v＝3t(0≤t≤10)，直线BC的方程是v＝－2t＋70(20＜t≤35)．当t＝4时，v＝12，所以s＝×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝×t×3t＝t2；当10＜t≤20时，s＝×10×30＋(t－10)×30＝30t－150；当20＜t≤35时，s＝150＋300＋×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550.综上可知，s随t变化的规律是s＝(3)当t∈[0,10]时，smax＝×102＝150＜650，当t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450＜650，当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或t＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N城．