高中数学高考课后限时集训25 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 作业

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用建议用时：45分钟一、选择题1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)A　[令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.]2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)A．－　　　　　 B.C．1   D.D　[由题意可知该函数的周期为，∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.∴f＝tan ＝.]3．(2019·潍坊模拟)函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为(　　)A.   B.C.   D.B　[由题意知y＝sin 2x－cos 2x＝2sin，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又因为φ∈，所以φ＝.]4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)A．－   B.C．－   D.B　[由题意，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－＜φ＜，所以φ＝.]5．(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f(x)的最小正周期为2；②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；③f(x)在，k∈Z上是减函数；④f(x)的最大值为A.则正确结论的个数为(　　)A．1   B．2C．3   D．4B　[由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A＞0，则最大值是A，若A＜0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.]二、填空题6．将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f(x)＝________.2sin　[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin.]7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．x　[根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|＜，得φ＝－，∴f(x)＝sin，∴f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．]8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.　[依题意，x＝＝时，y有最小值，∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.]三、解答题9．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[解]　(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，又因为f＝cos＝cos＝－sin φ＝且－＜φ＜0，所以φ＝－.(2)由(1)知f(x)＝cos.列表：2x－－0πx0πf(x)10－10描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．10.(2019·北京市东城区二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，求m的最大值．[解]　(1)由图象可知，A＝2.因为＝(T为最小正周期)，所以T＝π.由π＝，解得ω＝2.又函数f(x)的图象经过点，所以2sin＝2，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|＜，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.(2)法一：因为x∈[0，m]，所以2x＋∈.当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递增；所以此时f(x)≥f(0)＝1，符合题意；当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递减，所以f(x)≥f＝1，符合题意；当2x＋∈时，即x∈时，f(x)单调递减，所以f(x)＜f＝1，不符合题意．综上，若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，则必有0＜m≤，所以m的最大值是.法二：画出函数f(x)＝2sin的图象，如图所示，由图可知，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，且f(0)＝f＝1，所以0＜m≤.所以m的最大值为.1．将函数f(x)＝tan(0＜ω＜10)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)A．9   B．6C．4   D．8B　[函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z.又∵0＜ω＜10，∴ω＝6.]2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是(　　)A．R＝6，ω＝，φ＝－B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)递减D．当t＝20时，|PA|＝6C　[由题意，R＝＝6，T＝60＝，所以ω＝，t＝0时，点A(3，－3)代入可得－3＝6sin φ，因为|φ|＜，所以φ＝－，故A正确；f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，所以点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，C不正确；当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，D正确．故选C.]3．(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，则ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.]4．(2019·湖北八校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在它的某一个周期内的单调递减区间是.将y＝f(x)的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值．[解]　(1)∵＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，又∵sin＝1，|φ|＜，∴φ＝－，f(x)＝sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得y＝sin＝sin，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得g(x)＝sin.∴g(x)＝sin.(2)∵x∈，∴4x＋∈，当4x＋＝时，x＝，∴g(x)在上为增函数，在上为减函数，所以g(x)max＝g＝1，又因为g(0)＝，g＝－，所以g(x)min＝－，故函数g(x)在区间上的最大值和最小值分别为1和－.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．[解]　(1)由图可得A＝2，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2.当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，因为|φ|＜，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，则g(x)＝2sin＋2cos＝2sin＋2，令t＝sin，t∈[－1,1]，记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，即g(x)∈，故a∈.故a的取值范围为.