高中数学高考课后限时集训27 正弦定理、余弦定理 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训27 正弦定理、余弦定理 作业，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
　　　　　　　正弦定理、余弦定理建议用时：45分钟一、选择题1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D.D　[由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.]2．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(　　)A.  B.  C.  D.A　[由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝.]3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B等于(　　)A．－  B.  C．－  D.B　[由正弦定理知＝＝1，即tan B＝，由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos ＝，故选B.]4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)A.  B.  C.  D.C　[由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.]5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D　[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]二、填空题6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则角A＝________．　[因为2asin B＝b，所以2sin Asin B＝sin B，得sin A＝，所以A＝或A＝.因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.]7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．　[在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.]8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．＋1　[∵b＝2，B＝，C＝，由正弦定理＝，得c＝＝＝2，A＝π－(＋)＝，∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ＝.则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.]三、解答题9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×(－)．因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×(－)．解得c＝5.所以b＝7.(2)由cos B＝－得sin B＝.由正弦定理得sin C＝sin B＝.在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cos C＝＝.所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝.10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．[解]　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.由正弦定理，得sin Csin B＝，故sin Bsin C＝.(2)由题设及(1)，得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝(　　)A.  B．2  C．3  D.B　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得acos B＝，又acos B－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以＝2.故选B.]2．在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sin A＝________，BC＝________．　4　[依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，所以cos∠ACD＝.在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，即sin A＝＝.在△ABC中，＝，即BC＝＝4.]3．(2019·西安质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.(1)求证：2(a＋c)＝3b；(2)若cos B＝，S＝，求b.[解]　(1)证明：由已知得，a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b.在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，则acos C＋ccos A＝b.所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b.(2)因为cos B＝，所以sin B＝.因为S＝acsin B＝ac＝，所以ac＝8.又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，2(a＋c)＝3b，所以b2＝－16×(1＋)，所以b＝4.1．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)A．2  B．4  C．2  D．3C　[∵＝2cos C，由正弦定理，得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，∵S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，解得或c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，∴c＝2，故选C.]2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，又0＜A＜π，∴A＝.由sin Asin B＝cos2，得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，则cos C＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，则sin(－C)＝1＋cos C，化简得cos(C＋)＝－1，解得C＝，∴B＝.(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋()2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.